Enunciar o Teorema do Valor Médio para integrais. Obter o valor médio da função f(x)=x^3 no intervalo [-1,5]

Passo 1

O enunciado pede para enunciar o Teorema do Valor Médio para integrais e, em seguida, calcular o valor médio da função f(x)=x^3 no intervalo [-1,5]. Para isso, vamos usar o teorema que garante a existência de um ponto cuja imagem é igual ao valor médio da integral e a definição de valor médio de função contínua, junto com cálculo de integral definida.

Passo 2

O Teorema do Valor Médio para integrais diz que, se f é contínua em [a,b], então existe pelo menos um ponto cin(a,b) tal que
integrala^bf(x),dx = f(c),(b-a)
Como consequência, o valor médio de f em [a,b] é
f = 1b-aintegrala^bf(x),dx

Passo 3

Vamos calcular a integral de f(x)=x^3 de -1 a 5. A primitiva de x^3 é tfracx^44, logo
integral-1^5 x^3,dx = [x^44]-1^5 = 5^44 - (-1)^44 = 6254 - 14 = 6244 = 156

Passo 4

Aplicando a definição de valor médio no intervalo [-1,5], temos
f = 15 - (-1) integral-1^5 x^3,dx = 16 cdot 156 = 26

Resposta

O valor médio de f(x)=x^3 em [-1,5] é 26.

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