Calcule o comprimento das seguintes curvas dadas na forma polar:
(e) r=|sen theta|, 0 <= theta <= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva em forma polar
r(theta)=l|sinthetar|, para 0<=theta<=2pi.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento de curva em coordenadas polares, que diz:
L=integrala^braizr(theta)^2+l(r'(theta)r)^2;dtheta

Passo 2

Observamos que sintheta muda de sinal em theta=pi. Para manter r>=0 (já que r=|sintheta|), dividimos o intervalo em dois trechos:
De 0 até pi:
r(theta)=sintheta, r'(theta)=costheta
De pi até 2pi:
r(theta)=-sintheta, r'(theta)=-costheta

Passo 3

Em cada trecho calculamos
r(theta)^2+l(r'(theta)r)^2 =sin^2theta+cos^2theta =1,
logo o integrando vira raiz1=1 em todo [0,2pi].

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento:
L=integral0^2pi1;dtheta =2pi

Resposta

2pi

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