Calcule o comprimento das seguintes curvas dadas na forma polar:
(g) r=a theta^2, 0 <= theta <= pi2

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva dada em coordenadas polares por
r = a,theta^2, 0 <= theta <= pi2
O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares, que diz
L = integraltheta1^theta2 raizr(theta)^2 + l(r'(theta)r)^2;dtheta

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de r em relação a theta:
r(theta) = a,theta^2 Longrightarrow r'(theta) = ddthetal(a,theta^2r) = 2a,theta
Então
r(theta)^2 = a^2,theta^4, l(r'(theta)r)^2 = (2a,theta)^2 = 4a^2,theta^2

Passo 3

Substituindo em L obtemos
L = integral0^pi/2 raiza^2,theta^4 + 4a^2,theta^2;dtheta = integral0^pi/2 a,raiztheta^4 + 4,theta^2;dtheta = a integral0^pi/2 theta,raiztheta^2 + 4;dtheta

Passo 4

Para calcular
integral theta,raiztheta^2+4,dtheta,
fazemos a substituição
u = theta^2 + 4 Longrightarrow du = 2theta,dtheta Longrightarrow theta,dtheta = du2
Assim
integral theta,raiztheta^2+4,dtheta = 12 integral u^1/2,du = 12cdot 23,u^3/2 = 13,(theta^2+4)^3/2

Passo 5

Voltando aos limites theta=0 e theta=pi/2, temos
L = a [13,(theta^2+4)^3/2]0^pi/2 = a3l[l((tfracpi2)^2+4r)^3/2 - (0^2+4)^3/2r] = a3l[l(tfracpi^24+4r)^3/2 - 8r]

Resposta

L = a3l[l(4 + tfracpi^24r)^3/2 - 8r]

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