Usando a definição de derivada, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x0. Se existir, determine f^prime(x0).
f(x)=raizx, x0=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=raizx
é derivável em x0=0, usando a definição de derivada. Ou seja, investigar se existe
f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h

Passo 2

Observamos que f(x)=raizx está definida apenas para x>=0. Logo, ao aplicar a definição de derivada em x0=0, só podemos tomar o limite quando hto0^+, pois para h<0 a expressão raizh não faz sentido real. Assim,
f'(0)=limhto0^+raiz0+h-raiz0h =limhto0^+raizhh

Passo 3

Reescrevendo a fração,
raizhh =h^1/2h^1 =h^-1/2 =1raizh
Quando hto0^+, raizhto0^+ e portanto
1raizhto+infty
O limite diverge para infinito, não sendo um número finito.

Passo 4

Como o limite da definição de derivada em x0=0 não converge para um valor finito, concluímos que f não é derivável em 0.

Resposta

A função raizx não é derivável em x0=0 (o limite do quociente incremental diverge).

Exercícios relacionados