Usando a definição de derivada, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x0. Se existir, determine f^prime(x0).
f(x)=x^2+x, x0=5

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^2+x e pede para verificar se ela é diferenciável em x0=5 usando a definição de derivada. Vamos usar o conceito de limite do quociente incremental.

Passo 2

Pela definição, se existir
f'(5) ;=;limxto5f(x)-f(5)x-5,
então f é diferenciável em x0=5 e esse limite é o valor da derivada naquele ponto.

Passo 3

Calculamos primeiro
f(5)=5^2+5=25+5=30
Logo,
f(x)-f(5)=x^2+x-30=(x-5)(x+6)

Passo 4

O quociente incrementa torna-se
f(x)-f(5)x-5 =(x-5)(x+6)x-5 =x+6(xneq5)
Como x+6 é contínua em 5, temos
limxto5(x+6)=11
Portanto, o limite existe e vale 11, o que mostra que f é diferenciável em 5.

Resposta

A função é diferenciável em x0=5 e
f'(5)=11

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