Exercs. 5-32: Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos lá! Temos que analisar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e testes de convergência que aprendemos em cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Observando:
Então, a série original fica:
Podemos separar essa série em duas partes:
Passo 3
Vamos analisar a primeira parte: . Essa é uma série alternada onde os termos são apenas +1 e -1. Para uma série alternada convergir, os termos devem tender a zero. Nesse caso, os termos não tendem a zero, pois alternam entre +1 e -1. Portanto, essa série diverge.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda parte: . Aqui, temos uma série alternada com termos que tendem a zero à medida que aumenta. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos são decrescentes e tendem a zero, a série converge.
Como é uma função decrescente e tende a zero, a série converge.
Passo 5
Agora, precisamos determinar o tipo de convergência da série original. A primeira parte da série diverge, o que geralmente leva a série inteira a divergir. Mesmo que a segunda parte convirja, a divergência de uma parte faz com que a série original não tenha uma soma finita.
Além disso, para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
Essa série é a soma de sum 1 (que diverge) e sum e^-2n (que converge). Como uma parte diverge, a série dos valores absolutos também diverge.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n e^2 n+1e^2 né divergente.