Exercs. 5-32: Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n e^2 n+1e^2 n

Passo 1

Vamos lá! Temos que analisar se a série sumn=1^infty (-1)^n e^2 n+1e^2 n é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e testes de convergência que aprendemos em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Observando:
e^2n + 1e^2n = e^2ne^2n + 1e^2n = 1 + e^-2n
Então, a série original fica:
sumn=1^infty (-1)^n (1 + e^-2n)
Podemos separar essa série em duas partes:
sumn=1^infty (-1)^n + sumn=1^infty (-1)^n e^-2n

Passo 3

Vamos analisar a primeira parte: sumn=1^infty (-1)^n. Essa é uma série alternada onde os termos são apenas +1 e -1. Para uma série alternada convergir, os termos devem tender a zero. Nesse caso, os termos não tendem a zero, pois alternam entre +1 e -1. Portanto, essa série diverge.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda parte: sumn=1^infty (-1)^n e^-2n. Aqui, temos uma série alternada com termos e^-2n que tendem a zero à medida que n aumenta. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos bn = e^-2n são decrescentes e tendem a zero, a série converge.
Como e^-2n é uma função decrescente e tende a zero, a série sumn=1^infty (-1)^n e^-2n converge.

Passo 5

Agora, precisamos determinar o tipo de convergência da série original. A primeira parte da série diverge, o que geralmente leva a série inteira a divergir. Mesmo que a segunda parte convirja, a divergência de uma parte faz com que a série original não tenha uma soma finita.
Além disso, para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n (1 + e^-2n) | = sumn=1^infty (1 + e^-2n)
Essa série é a soma de sum 1 (que diverge) e sum e^-2n (que converge). Como uma parte diverge, a série dos valores absolutos também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n e^2 n+1e^2 n é divergente.

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