Calcule o comprimento dos seguintes curvas.
y=x^2 / 3-1,1 <= x <= 2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento da curva dada pela equação $ y = x^{2/3} - 1 $ no intervalo de $ x = 1 $ até $ x = 2 $. Para isso, vamos usar o cálculo de comprimento de curvas, que envolve derivadas e integrais. Precisaremos aplicar a fórmula do comprimento de arco para funções de $ x $.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ y $ em relação a $ x $. A derivada nos ajuda a entender como a curva está se comportando.
A função é:
y
Derivando em relação a $ x $:
x
Explicando: usamos a regra do poder, onde a derivada de $ x^n $ é $ nx^{n-1} $.

Passo 3

Agora, usamos a fórmula do comprimento de arco para funções de $ x $:
x
Aqui, $ a = 1 $ e $ b = 2 $.

Passo 4

Substituindo $ \frac{dy}{dx} $ na fórmula:
dydx
Simplificando dentro da raiz:
L = integral1^2 raiz1 + ( 23x^-1/3 )^2 , dx

Passo 5

Para simplificar a expressão dentro da integral, podemos reescrever $ x^{-2/3} $ como $ \frac{1}{x^{2/3}} $:
x^-2/3
Vamos ajustar os termos para facilitar a integração:
1x^2/3

Passo 6

Agora, fazemos uma substituição para resolver a integral. Vamos deixar $ u = x^{2/3} $, então:
u = x^2/3
Resolvendo para $ dx $:
du = 23x^-1/3 , dx
Substituindo na integral:
dx
Os termos $ 3 $ e $ x^{1/3} $ se cancelam:
dx = 32x^1/3 , du

Passo 7

Agora, integramos $ \sqrt{9u + 4} $:
raiz9u + 4
Fazemos outra substituição: deixe $ v = 9u + 4 $, então $ dv = 9 , du $ ou $ du = \frac{dv}{9} $.
Substituindo:
integral raiz9u + 4 , du
Integrando:
v = 9u + 4
Voltando para $ u $:
dv = 9 , du
E para $ u = x^{2/3} $:
du = dv9

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de $ x = 1 $ até $ x = 2 $:
x = 1
Simplificando:
x = 2
Calculando cada parte:
Para $ x = 2 $:
L = 12 [ 227 (9x^2/3 + 4)^3/2 ]1^2
L = 127 [ (9(2)^2/3 + 4)^3/2 - (9(1)^2/3 + 4)^3/2 ]
x = 2
Para $ x = 1 $:
2^2/3 = raiz[3]4 approx 1.5874
9 times 1.5874 + 4 approx 14.2866 + 4 = 18.2866
(18.2866)^3/2 approx 77.979
Substituindo de volta:
x = 1
1^2/3 = 1
9 times 1 + 4 = 13

Resposta

O comprimento da curva $ y = x^{2/3} - 1 $ de $ x = 1 $ a $ x = 2 $ é aproximadamente 1,152 unidades.

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