Calcule o comprimento dos seguintes curvas.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento da curva dada pela equação $ y = x^{2/3} - 1 $ no intervalo de $ x = 1 $ até $ x = 2 $. Para isso, vamos usar o cálculo de comprimento de curvas, que envolve derivadas e integrais. Precisaremos aplicar a fórmula do comprimento de arco para funções de $ x $.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ y $ em relação a $ x $. A derivada nos ajuda a entender como a curva está se comportando.
A função é:
Derivando em relação a $ x $:
Explicando: usamos a regra do poder, onde a derivada de $ x^n $ é $ nx^{n-1} $.
Passo 3
Agora, usamos a fórmula do comprimento de arco para funções de $ x $:
Aqui, $ a = 1 $ e $ b = 2 $.
Passo 4
Substituindo $ \frac{dy}{dx} $ na fórmula:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Para simplificar a expressão dentro da integral, podemos reescrever $ x^{-2/3} $ como $ \frac{1}{x^{2/3}} $:
Vamos ajustar os termos para facilitar a integração:
Passo 6
Agora, fazemos uma substituição para resolver a integral. Vamos deixar $ u = x^{2/3} $, então:
Resolvendo para $ dx $:
Substituindo na integral:
Os termos $ 3 $ e $ x^{1/3} $ se cancelam:
Passo 7
Agora, integramos $ \sqrt{9u + 4} $:
Fazemos outra substituição: deixe $ v = 9u + 4 $, então $ dv = 9 , du $ ou $ du = \frac{dv}{9} $.
Substituindo:
Integrando:
Voltando para $ u $:
E para $ u = x^{2/3} $:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de $ x = 1 $ até $ x = 2 $:
Simplificando:
Calculando cada parte:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = 1 $:
Substituindo de volta:
Resposta
O comprimento da curva $ y = x^{2/3} - 1 $ de $ x = 1 $ a $ x = 2 $ é aproximadamente 1,152 unidades.