Calcule partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) se z=f(x, y) é definida implicitamente pela equação dada por.
x e^y z-2 y e^x z+3 z e^x y=1

Passo 1

Temos a função z = f(x,y) definida implicitamente pela equação
x e^y z - 2 y e^x z + 3 z e^x y = 1
O conteúdo usado aqui é diferenciação implícita para encontrar as derivadas parciais zx e zy aplicando a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, tratando y como constante e lembrando que z = z(x,y):
  • Para x e^y z:
    derivada é 1cdot e^y z + xcdot e^y zcdot (y zx).
  • Para -2 y e^x z:
    derivada é -2 ycdot e^x zcdot (z + x zx), pois d(xz)/dx = z + x zx.
  • Para 3 z e^x y:
    derivada é 3 zx e^x y + 3 zcdot e^x ycdot (y).
    Somando tudo e igualando a zero, obtemos
e^y z + x y e^y z zx -2 y z e^x z -2 x y e^x z zx +3 y z e^x y +3 e^x y zx = 0
Agrupando os termos em zx e isolando, resulta
zx = -e^y z -2 y z e^x z +3 y z e^x yx y e^y z -2 x y e^x z +3 e^x y

Passo 3

Derivando agora em relação a y, tratando x como constante:
  • Para x e^y z:
    derivada é xcdot e^y zcdot (z + y zy).
  • Para -2 y e^x z:
    derivada é -2 e^x z -2 ycdot e^x zcdot (x zy).
  • Para 3 z e^x y:
    derivada é 3 zy e^x y + 3 zcdot e^x ycdot (x).
    Somando e igualando a zero, dá
x z e^y z + x y e^y z zy -2 e^x z -2 x y e^x z zy +3 x z e^x y +3 e^x y zy = 0
Agrupando zy e isolando, obtemos
zy = -x z e^y z +3 x z e^x y -2 e^x zx y e^y z -2 x y e^x z +3 e^x y

Resposta

fx(x,y) = -e^y z -2 y z e^x z +3 y z e^x yx y e^y z -2 x y e^x z +3 e^x y, fy(x,y) = -x z e^y z +3 x z e^x y -2 e^x zx y e^y z -2 x y e^x z +3 e^x y

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