Calcule partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) se z=f(x, y) é definida implicitamente pela equação dada por.
2 x y^3-3 y z^2+x^2 y^2+4 z=0.

Passo 1

A gente tem a função z=f(x,y) definida implicitamente por 2 x y³ – 3 y z² + x² y² + 4 z = 0. O conteúdo aqui é diferenciação implícita, e precisamos usar o teorema da função implícita para achar ∂f/∂x e ∂f/∂y.

Passo 2

Definimos a função auxiliar F(x,y,z) para organizar as contas: F(x,y,z) = 2 x y³ – 3 y z² + x² y² + 4 z, de modo que F(x,y,f(x,y)) = 0.

Passo 3

Pelo teorema da função implícita, se F(x,y,z) = 0 define z = f(x,y), então
partial fpartial x = -FxFz, partial fpartial y = -FyFz

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais de F em x, y e z: ,
Fx = 2y^3 + 2x y^2, Fy = 6x y^2 - 3z^2 + 2x^2 y, Fz = -6y z + 4

Passo 5

Substituindo na fórmula da função implícita a gente obtém
partial fpartial x = -2y^3 + 2x y^24 - 6y z, partial fpartial y = -6x y^2 - 3z^2 + 2x^2 y4 - 6y z

Passo 6

Para simplificar dá pra fatorar em ∂f/∂x o 2y², ficando
partial fpartial x = -2y^2(y+x)4 - 6y z,
mas a forma anterior já está boa para uso.

Resposta

(1) partial fpartial x = -2y^3 + 2x y^24 - 6y z (2) partial fpartial y = -6x y^2 - 3z^2 + 2x^2 y4 - 6y z

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