Calcule
e
se
é definida implicitamente pela equação dada por.
.
Passo 1
A gente tem a função z=f(x,y) definida implicitamente por 2 x y³ – 3 y z² + x² y² + 4 z = 0. O conteúdo aqui é diferenciação implícita, e precisamos usar o teorema da função implícita para achar ∂f/∂x e ∂f/∂y.
Passo 2
Definimos a função auxiliar F(x,y,z) para organizar as contas: F(x,y,z) = 2 x y³ – 3 y z² + x² y² + 4 z, de modo que F(x,y,f(x,y)) = 0.
Passo 3
Pelo teorema da função implícita, se F(x,y,z) = 0 define z = f(x,y), então
Passo 4
Agora calculamos as derivadas parciais de F em x, y e z: ,
Passo 5
Substituindo na fórmula da função implícita a gente obtém
Passo 6
Para simplificar dá pra fatorar em ∂f/∂x o 2y², ficando
mas a forma anterior já está boa para uso.
Resposta
(1)
(2)