Calcule os comprimentos de arco das seguintes curvas nos intervalos indicados.
y=cosh x=e^x+e^-x2, 0 <= x <= 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
y = cosh x = e^x + e^-x2
no intervalo 0 <= x <= 1.
O conteúdo aqui é o uso da fórmula de comprimento de arco para função explícita y=y(x):
L = integrala^b raiz1 + l(y'(x)r)^2;dx

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
y'(x) = sinh x = e^x - e^-x2
Logo
1 + l(y'(x)r)^2 = 1 + sinh^2x
Usando a identidade hiperbólica cosh^2x - sinh^2x = 1, temos
1 + sinh^2x = cosh^2x,
portanto
raiz1 + sinh^2x = cosh x
(nota: escolhemos o sinal positivo porque cosh x>=0 em todo R).

Passo 3

Substituindo na integral de comprimento de arco:
L = integral0^1 raiz1 + l(y'(x)r)^2;dx = integral0^1 cosh x ;dx
A antiderivada de cosh x é sinh x, então
L = l[sinh xr]0^1 = sinh(1) - sinh(0) = sinh(1)

Resposta

sinh(1)

Exercícios relacionados