dar o raio de convergência e a região de convergência da série.
sum (-1)^n x^nn^p, p>0

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e a região de convergência da série de potências
sumn=1^infty(-1)^nx^nn^p, p>0
O conteúdo envolve séries de potências, cálculo do raio de convergência (por teste da raiz ou razão) e análise de convergência nos pontos extremos ( x=pm1) usando o critério de Leibniz e o teste da p-série.

Passo 2

Para |x|<1 a série converge absolutamente e para |x|>1 diverge por teste da raiz. Seja an = (-1)^n/n^p. Então
limsupntoinftyraiz[n]|an| = limntoinftyraiz[n]1n^p =1,
logo o raio de convergência é
R = 11 = 1

Passo 3

No extremo x=1 a série fica
sumn=1^infty(-1)^nn^p,
que é uma série alternante com termos tfrac1n^p monótonos decrescentes e tendendo a zero. Pelo critério de Leibniz, essa série converge para todo p>0.

Passo 4

No extremo x=-1 a série fica
sumn=1^infty(-1)^n(-1)^nn^p =sumn=1^infty1n^p,
ou seja, uma p-série que converge se, e somente se, p>1.

Passo 5

Juntando:
  • Para |x|<1 converge sempre.
  • Em x=1 converge forall p>0.
  • Em x=-1 converge só se p>1.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Região de convergência:
|x|<1;
acrescenta-se x=1 para todo p>0 e só acrescenta-se x=-1 quando p>1. Portanto,
para 0<p<=1 a região é (-1,1]
e para p>1 a região é [-1,1].

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