dar o raio de convergência e a região de convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e a região de convergência da série de potências
O conteúdo envolve séries de potências, cálculo do raio de convergência (por teste da raiz ou razão) e análise de convergência nos pontos extremos (
) usando o critério de Leibniz e o teste da
-série.
Passo 2
Para
a série converge absolutamente e para
diverge por teste da raiz. Seja
. Então
logo o raio de convergência é
Passo 3
No extremo
a série fica
que é uma série alternante com termos
monótonos decrescentes e tendendo a zero. Pelo critério de Leibniz, essa série converge para todo
.
Passo 4
No extremo
a série fica
ou seja, uma
-série que converge se, e somente se,
.
Passo 5
Juntando:
- Para
converge sempre. - Em
converge . - Em
converge só se .
Resposta
Raio de convergência:
.
Região de convergência:
Região de convergência:
acrescenta-se
para todo
e só acrescenta-se
quando
. Portanto,
para a região é
e para a região é
.
para
e para