Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(x e^y+y-x^2) d y=(2 x y-e^y-x) d x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
l(xe^y+y-x^2r),dy ;=;l(2xy-e^y-xr),dx
e pede a solução geral, verificando se é exata ou se precisa de fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos em forma padrão
M(x,y),dx ;+;N(x,y),dy ;=;0
onde
M(x,y)=2xy-e^y-x, N(x,y)=-l(xe^y+y-x^2r)=-xe^y-y+x^2

Passo 3

Verificamos se é exata calculando
partial Mpartial y =partialpartial y(2xy-e^y-x) =2x - e^y,
partial Npartial x =partialpartial x(-xe^y-y+x^2) =-e^y+2x
Como partial M/partial y=partial N/partial x=2x-e^y, a equação é exata e não precisa de fator integrante.

Passo 4

Como é exata, existe uma função potencial Psi(x,y) tal que
Psix(x,y)=M(x,y), Psiy(x,y)=N(x,y)

Passo 5

Integramos Psix=M em relação a x:
Psi(x,y)=integrall(2xy-e^y-xr),dx =x^2y - x e^y - x^22 + h(y)

Passo 6

Derivamos Psi em relação a y e igualamos a N:
Psiy=x^2-x e^y+h'(y) stackrel!= -xe^y-y+x^2
Isso dá h'(y)=-y, logo h(y)=-tfracy^22 (constante absorvida em C).

Resposta

A solução geral aparece implicitamente como
x^2y - x e^y - x^22 - y^22 = C

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