Calcule os comprimentos das seguintes curvas:
\gamma(t)=(1-\cos (t), 1-\operatorname{sen}(t)), t \in[0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica \gamma(t) = (\,1 - \cos(t)\,,\,1 - \sin(t)\!) para t \in [0,\pi].
O conteúdo envolve o cálculo de comprimento de curva via a integral do módulo da derivada \gamma'(t).

Passo 2

Primeiro derivamos componente a componente: \gamma'(t) = (\;\tfrac{d}{dt}[\,1-\cos(t)\,],\;\tfrac{d}{dt}[\,1-\sin(t)\,]\!)
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\gamma'(t) = (\sin(t),\,-\cos(t)).

Passo 3

O comprimento L é dado por
L = \int_{0}^{\pi} \big\|\gamma'(t)\big\|\,dt = \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin^2(t)+(-\cos(t))^2}\;dt = \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin^2(t)+\cos^2(t)}\;dt = \int_{0}^{\pi} 1\;dt = \pi.

Resposta

\pi

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