Calcule os comprimentos das seguintes curvas:
.
Passo 1
Temos a curva paramétrica
,
,
e queremos seu comprimento
e queremos seu comprimento
O conteúdo aqui é a fórmula do comprimento de arco de curva paramétrica.
Passo 2
Calculemos as derivadas:
Logo o integrando fica
Passo 3
O comprimento é
Para resolver essa integral, usamos a substituição hiperbólica
Passo 4
Substituindo em
:
As primitivas são
e
portanto uma antiderivada em é
e
portanto uma antiderivada em
Passo 5
Agora avaliamo-la de
a
:
Juntando os logs: