Calcule os comprimentos das seguintes curvas:
\gamma(t)=(t, \ln (t)), t \in[1, e].

Passo 1

Temos a curva paramétrica \gamma(t) = (x(t),y(t)) = \bigl(t,\ln t\bigr), t\in[1,e],
e queremos seu comprimento
L = \int_{1}^{e} \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2} + \bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.
O conteúdo aqui é a fórmula do comprimento de arco de curva paramétrica.

Passo 2

Calculemos as derivadas:
x'(t) = 1,\quad y'(t) = \frac{1}{t}.
Logo o integrando fica
\sqrt{1 + \frac{1}{t^{2}}} = \sqrt{\frac{t^{2}+1}{t^{2}}} = \frac{\sqrt{t^{2}+1}}{t}.

Passo 3

O comprimento é
L = \int_{1}^{e} \frac{\sqrt{t^{2}+1}}{t}\;dt.
Para resolver essa integral, usamos a substituição hiperbólica
t = \operatorname{sinh} u,\quad dt = \operatorname{cosh} u\;du,\quad \sqrt{t^{2}+1} = \operatorname{cosh} u.

Passo 4

Substituindo em L:
L = \int \frac{\operatorname{cosh} u}{\operatorname{sinh} u}\,\operatorname{cosh} u\;du = \int \frac{\operatorname{cosh}^{2}u}{\operatorname{sinh} u}\;du = \int \bigl(\csch u + \operatorname{sinh} u\bigr)\;du.
As primitivas são \displaystyle \int \csch u\,du = \ln\bigl(\operatorname{tanh}\tfrac{u}{2}\bigr)
e \displaystyle \int \operatorname{sinh} u\,du = \operatorname{cosh} u,
portanto uma antiderivada em t é
F(t) = \operatorname{cosh} u + \ln\!\bigl(\operatorname{tanh}\tfrac{u}{2}\bigr) = \sqrt{t^{2}+1} + \ln\!\Bigl(\frac{t}{1+\sqrt{t^{2}+1}}\Bigr).

Passo 5

Agora avaliamo-la de t=1 a t=e:
L = \Bigl[\sqrt{t^{2}+1} + \ln\!\Bigl(\tfrac{t}{1+\sqrt{t^{2}+1}}\Bigr)\Bigr]_{1}^{e} = \Bigl(\sqrt{e^{2}+1}-\sqrt{2}\Bigr) + \ln\!\Bigl(\frac{e}{1+\sqrt{e^{2}+1}}\Bigr) - \ln\!\Bigl(\frac{1}{1+\sqrt{2}}\Bigr).
Juntando os logs:
\ln\!\Bigl(\tfrac{e}{1+\sqrt{e^{2}+1}}\Bigr) - \ln\!\Bigl(\tfrac{1}{1+\sqrt{2}}\Bigr) = \ln\!\Bigl(\frac{e(1+\sqrt{2})}{1+\sqrt{e^{2}+1}}\Bigr).

Resposta

L = \sqrt{e^{2}+1} \;-\;\sqrt{2} \;+\;\ln\!\Bigl(\tfrac{e(1+\sqrt{2})}{1+\sqrt{e^{2}+1}}\Bigr).

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