Verifique em cada caso abaixo que os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x-y=0 \quad\right. e \left.\quad x+t=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
W = \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x - y = 0,\; x + t = 0\}
é um subespaço de \mathbb{R}^4. Vamos usar a definição de subespaço vetorial: mostrar que W não é vazio, que é fechado sob soma de vetores e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio, exibindo o vetor zero. Para (0,0,0,0) temos
0 - 0 = 0 \quad\text{e}\quad 0 + 0 = 0,
logo (0,0,0,0)\in W.

Passo 3

Fechadura sob soma. Seja u=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in W e v=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in W. Então
x_1 - y_1 = 0,\; x_1 + t_1 = 0 \quad\text{e}\quad x_2 - y_2 = 0,\; x_2 + t_2 = 0.
No somatório u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2) verificamos
(x_1+x_2)-(y_1+y_2)=(x_1-y_1)+(x_2-y_2)=0+0=0
e
(x_1+x_2)+(t_1+t_2)=(x_1+t_1)+(x_2+t_2)=0+0=0.
Logo u+v\in W.

Passo 4

Fechadura sob multiplicação por escalar. Seja u=(x,y,z,t)\in W e \alpha\in\mathbb{R}. Então x-y=0 e x+t=0. No vetor \alpha u=(\alpha x,\alpha y,\alpha z,\alpha t) temos
\alpha x - \alpha y = \alpha(x-y)=\alpha\cdot 0=0
e
\alpha x + \alpha t = \alpha(x+t)=\alpha\cdot 0=0.
Assim \alpha u\in W.

Resposta

Como W contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^4.

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