Verifique em cada caso abaixo que os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x+y=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
W = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x+y=0\}
é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2. Para isso, vamos verificar três propriedades básicas de subespaços:
  1. Contém o vetor zero (não vazio).
  2. Fechamento sob soma de vetores.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero \mathbf{0}=(0,0) pertence a W, pois
0 + 0 = 0.
Logo, W não é vazio e contém o vetor zero, satisfazendo a primeira condição.

Passo 3

Vamos checar o fechamento sob soma. Sejam (x_1,y_1)\in W e (x_2,y_2)\in W. Então
x_1 + y_1 = 0 \quad\text{e}\quad x_2 + y_2 = 0.
A soma desses vetores é
(x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1 + x_2,\;y_1 + y_2).
Somando as coordenadas obtém-se
(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) = 0 + 0 = 0,
logo (x_1 + x_2,y_1 + y_2)\in W.

Passo 4

Agora, o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e (x,y)\in W, com x+y=0. Então
\lambda\,(x,y) = (\lambda x,\;\lambda y),
e
\lambda x + \lambda y = \lambda\,(x + y) = \lambda\cdot 0 = 0.
Portanto (\lambda x,\lambda y)\in W.

Resposta

W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

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