Calcule as seguintes integrais:
\int_{1}^{3}\left[\sqrt{t} \ln (t) \vec{i}+t^{3} e^{t} \vec{j}+t^{3} \operatorname{sen}(t) \vec{k}\right] d t

Passo 1

O enunciado pede a integral vetorial
\int_{1}^{3}\bigl[\sqrt{t}\,\ln(t)\,\vec{i} \;+\; t^{3}e^{t}\,\vec{j}\;+\; t^{3}\operatorname{sen}(t)\,\vec{k}\bigr]\,dt
O conteúdo aqui é a integração de funções vetoriais: basta separar em três integrais escalares, uma por componente, e resolver cada uma.

Passo 2

Componente em \vec{i}:
\int_{1}^{3}\sqrt{t}\,\ln(t)\,dt
fazer integração por partes com
u=\ln(t),\quad dv=t^{1/2}dt
então
du=\frac{dt}{t},\quad v=\int t^{1/2}dt=\frac{2}{3}t^{3/2}.
A antiderivada é
F_{1}(t) =\frac{2}{3}t^{3/2}\ln(t)-\int\frac{2}{3}t^{3/2}\cdot\frac{dt}{t} =\frac{2}{3}t^{3/2}\ln(t)-\frac{4}{9}t^{3/2}.
Avaliação de 1 a 3:
F_{1}(3)-F_{1}(1) =\Bigl(\tfrac{2}{3}\,3^{3/2}\ln(3)-\tfrac{4}{9}\,3^{3/2}\Bigr) -\Bigl(0-\tfrac{4}{9}\Bigr) =2\sqrt{3}\ln(3)-\frac{4\sqrt{3}}{3}+\frac{4}{9}.

Passo 3

Componente em \vec{j}:
\int_{1}^{3}t^{3}e^{t}dt.
Usando a fórmula de partes repetidas (ou tabela), a antiderivada é
F_{2}(t)=e^{t}\bigl(t^{3}-3t^{2}+6t-6\bigr).
Logo
F_{2}(3)-F_{2}(1) =e^{3}(27-27+18-6)-e^{1}(1-3+6-6) =12e^{3}-(-2e)=12e^{3}+2e.

Passo 4

Componente em \vec{k}:
\int_{1}^{3}t^{3}\operatorname{sen}(t)\,dt.
Fazendo integração por partes três vezes chega-se a
F_{3}(t)=-t^{3}\cos(t)+3t^{2}\operatorname{sen}(t)+6t\cos(t)-6\operatorname{sen}(t).
Avaliação de 1 a 3:
F_{3}(3)-F_{3}(1) =\bigl[-27\cos(3)+27\operatorname{sen}(3)+18\cos(3)-6\operatorname{sen}(3)\bigr] -\bigl[-\cos(1)+3\operatorname{sen}(1)+6\cos(1)-6\operatorname{sen}(1)\bigr]
=-9\cos(3)+21\operatorname{sen}(3)-\bigl(5\cos(1)-3\operatorname{sen}(1)\bigr) =-9\cos(3)+21\operatorname{sen}(3)-5\cos(1)+3\operatorname{sen}(1).

Passo 5

Juntando as três componentes, a integral vetorial vale
\Bigl(2\sqrt{3}\ln(3)-\frac{4\sqrt{3}}{3}+\frac{4}{9}\Bigr)\vec{i} \;+\;(12e^{3}+2e)\,\vec{j} \;+\;\bigl[-9\cos(3)+21\operatorname{sen}(3)-5\cos(1)+3\operatorname{sen}(1)\bigr]\vec{k}.

Resposta

\int_{1}^{3}\bigl[\sqrt{t}\ln(t)\,\vec{i}+t^{3}e^{t}\,\vec{j}+t^{3}\operatorname{sen}(t)\,\vec{k}\bigr]dt =\Bigl(2\sqrt{3}\ln(3)-\tfrac{4\sqrt{3}}{3}+\tfrac{4}{9}\Bigr)\vec{i} +(12e^{3}+2e)\,\vec{j} +(-9\cos(3)+21\operatorname{sen}(3)-5\cos(1)+3\operatorname{sen}(1))\,\vec{k}.

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