Calcule as seguintes integrais:
\int_{1}^{2}\left[\ln (t) \vec{i}+t e^{2 t} \vec{j}+t^{2} e^{t} \vec{k}\right] d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral vetorial
\int_{1}^{2}\bigl[\ln(t)\,\vec{i}+t e^{2t}\,\vec{j}+t^{2}e^{t}\,\vec{k}\bigr]\,dt.
Como é uma integral de um campo que só depende do parâmetro t, podemos integrar componente a componente.

Passo 2

Integral da componente \vec{i}:
\int_{1}^{2}\ln(t)\,dt.
Usamos integração por partes com u=\ln(t), dv=dt, então du=\tfrac{1}{t}dt e v=t. Assim
\int\ln(t)\,dt = t\ln(t)-\int t\cdot\frac{1}{t}\,dt = t\ln(t)-t + C.
Avaliando de 1 a 2:
\bigl[\,t\ln(t)-t\,\bigr]_{1}^{2} = \bigl(2\ln(2)-2\bigr)-\bigl(1\cdot0-1\bigr) =2\ln(2)-2+1 =2\ln(2)-1.

Passo 3

Integral da componente \vec{j}:
\int_{1}^{2}t\,e^{2t}\,dt.
Fazendo integração por partes com u=t, dv=e^{2t}dt, então du=dt e v=\tfrac{1}{2}e^{2t}. Temos
\int t\,e^{2t}\,dt = \frac{t}{2}e^{2t}-\int\frac{1}{2}e^{2t}\,dt = \frac{t}{2}e^{2t}-\frac{1}{4}e^{2t}+C = e^{2t}\Bigl(\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\Bigr)+C.
Avaliando de 1 a 2:
\Bigl[e^{2t}\bigl(\tfrac{t}{2}-\tfrac{1}{4}\bigr)\Bigr]_{1}^{2} = e^{4}\Bigl(\tfrac{2}{2}-\tfrac{1}{4}\Bigr) - e^{2}\Bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}\Bigr) = e^{4}\cdot\frac{3}{4}-e^{2}\cdot\frac{1}{4} = \frac{3e^{4}-e^{2}}{4}.

Passo 4

Integral da componente \vec{k}:
\int_{1}^{2}t^{2}e^{t}\,dt.
Usamos integração por partes duas vezes. Primeiro com u=t^{2}, dv=e^{t}dt, obtendo
\int t^{2}e^{t}\,dt = t^{2}e^{t}-\int 2t\,e^{t}\,dt.
Para \int 2t\,e^{t}\,dt fazemos u=2t, dv=e^{t}dt, dando
\int 2t\,e^{t}\,dt = 2\bigl(te^{t}-\int e^{t}dt\bigr) = 2(te^{t}-e^{t}) = 2e^{t}(t-1).
Logo
\int t^{2}e^{t}\,dt = t^{2}e^{t}-2e^{t}(t-1) = e^{t}(t^{2}-2t+2)+C.
Avaliando de 1 a 2:
\bigl[e^{t}(t^{2}-2t+2)\bigr]_{1}^{2} = e^{2}(4-4+2)-e^{1}(1-2+2) =2e^{2}-e.

Resposta

\int_{1}^{2}\bigl[\ln(t)\,\vec{i}+t e^{2t}\,\vec{j}+t^{2}e^{t}\,\vec{k}\bigr]dt =\bigl(2\ln(2)-1\bigr)\,\vec{i} +\frac{3e^{4}-e^{2}}{4}\,\vec{j} +\bigl(2e^{2}-e\bigr)\,\vec{k}.

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