Calcule a concentração das espécies
i) \mathrm{Y}^{4-} em uma solução 0,010 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de EDTA tamponada em pH 10 . (
Dados: \mathrm{k}_{\mathrm{a} 1}=1,02 \times 10^{-2} ; \mathrm{k}_{\mathrm{a} 2}=2,14 \times 10^{-3} ; \mathrm{k}_{\mathrm{a} 3}=6,9 \times 10^{-7} ; \mathrm{k}_{\mathrm{a} 4}=5,5 \times 10^{-11}

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos.
  • Pede-se a concentração da espécie \mathrm{Y}^{4-} (forma totalmente desprotonada do EDTA) em uma solução de EDTA com concentração total 0,010\\ \mathrm{mol/L} tamponada em pH 10.
  • Dados das constantes de dissociação (foram fornecidas no enunciado):
    \mathrm{k}_{\mathrm{a}1}=1{,}02\times10^{-2}, \mathrm{k}_{\mathrm{a}2}=2{,}14\times10^{-3}, \mathrm{k}_{\mathrm{a}3}=6{,}9\times10^{-7}, \mathrm{k}_{\mathrm{a}4}=5{,}5\times10^{-11}.
  • Informação implícita utilizada: concentração total de EDTA C_T = 0{,}010\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
    Nada mais será pedido; agora começamos a resolver.

Passo 2

Entendendo as espécies e a relação entre elas (passo-a-passo didático).
  • EDTA tem quatro prótons ionizáveis; escrevemos as formas sucessivas como \mathrm{H}_4\mathrm{Y}, \mathrm{H}_3\mathrm{Y}^-, \mathrm{H}_2\mathrm{Y}^{2-}, \mathrm{HY}^{3-}, \mathrm{Y}^{4-}.
  • As constantes de dissociação definem as relações de equilíbrio. Por exemplo, para a primeira dissociação: \mathrm{k}_{\mathrm{a}1}=\frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{H}_3\mathrm{Y}^-]}{[\mathrm{H}_4\mathrm{Y}]},portanto [\mathrm{H}_3\mathrm{Y}^-]=\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}}{[\mathrm{H}^+]}\,[\mathrm{H}_4\mathrm{Y}].
  • Repetindo para as outras etapas e substituindo em cadeia, obtemos expressões de cada forma em função de [\mathrm{H}_4\mathrm{Y}] e [\mathrm{H}^+]: [\mathrm{H}_2\mathrm{Y}^{2-}]=\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}}{[\mathrm{H}^+]^2}\,[\mathrm{H}_4\mathrm{Y}],
[\mathrm{HY}^{3-}]=\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}\mathrm{k}_{\mathrm{a}3}}{[\mathrm{H}^+]^3}\,[\mathrm{H}_4\mathrm{Y}],
[\mathrm{Y}^{4-}]=\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}\mathrm{k}_{\mathrm{a}3}\mathrm{k}_{\mathrm{a}4}}{[\mathrm{H}^+]^4}\,[\mathrm{H}_4\mathrm{Y}].

Passo 3

Montando a expressão da fração da forma \mathrm{Y}^{4-} (fórmula que vamos usar).
  • A conservação de massa (concentração total C_T) dá: C_T=[\mathrm{H}_4\mathrm{Y}]+[\mathrm{H}_3\mathrm{Y}^-]+[\mathrm{H}_2\mathrm{Y}^{2-}]+[\mathrm{HY}^{3-}]+[\mathrm{Y}^{4-}].
  • Substituindo as expressões do passo anterior, factorando [\mathrm{H}_4\mathrm{Y}], obtemos C_T=[\mathrm{H}_4\mathrm{Y}]\Bigg(1+\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}}{[\mathrm{H}^+]}+\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}}{[\mathrm{H}^+]^2}+\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}\mathrm{k}_{\mathrm{a}3}}{[\mathrm{H}^+]^3}+\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}\mathrm{k}_{\mathrm{a}3}\mathrm{k}_{\mathrm{a}4}}{[\mathrm{H}^+]^4}\Bigg).
  • A fração da forma \mathrm{Y}^{4-} (denotada \alpha_4) é \alpha_4=\frac{[\mathrm{Y}^{4-}]}{C_T} =\frac{\dfrac{\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}\mathrm{k}_{\mathrm{a}3}\mathrm{k}_{\mathrm{a}4}}{[\mathrm{H}^+]^4}}{1+\dfrac{\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}}{[\mathrm{H}^+]}+\dfrac{\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}}{[\mathrm{H}^+]^2}+\dfrac{\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}\mathrm{k}_{\mathrm{a}3}}{[\mathrm{H}^+]^3}+\dfrac{\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}\mathrm{k}_{\mathrm{a}3}\mathrm{k}_{\mathrm{a}4}}{[\mathrm{H}^+]^4}}.
  • Multiplicando numerador e denominador por [\mathrm{H}^+]^4 fica mais cômodo para cálculo: \alpha_4=\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}\mathrm{k}_{\mathrm{a}3}\mathrm{k}_{\mathrm{a}4}}{[\mathrm{H}^+]^4+\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}[\mathrm{H}^+]^3+\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}[\mathrm{H}^+]^2+\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}\mathrm{k}_{\mathrm{a}3}[\mathrm{H}^]+\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}\mathrm{k}_{\mathrm{a}3}\mathrm{k}_{\mathrm{a}4}}.
  • Finalmente, a concentração procurada é [\mathrm{Y}^{4-}]=C_T\cdot\alpha_4.

Passo 4

Substituindo números: cálculo de [\mathrm{H}^+] a partir do pH.
  • Em pH 10, temos [\mathrm{H}^+]=10^{-10}.

Passo 5

Calculando os produtos das constantes e cada termo do denominador (passo a passo numérico).
  • Primeiro calculemos os produtos acumulados das k_a: \mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}=1{,}02\times10^{-2}\times2{,}14\times10^{-3}=2{,}1828\times10^{-5}.
\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}\mathrm{k}_{\mathrm{a}3}=2{,}1828\times10^{-5}\times6{,}9\times10^{-7}=1{,}506132\times10^{-11}.
\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}\mathrm{k}_{\mathrm{a}3}\mathrm{k}_{\mathrm{a}4}=1{,}506132\times10^{-11}\times5{,}5\times10^{-11}=8{,}283726\times10^{-22}.
  • Agora calculemos cada termo do denominador \big([\mathrm{H}^+]^4,\\ \mathrm{k}_{\mathrm{a}1}[\mathrm{H}^+]^3,\\ \ldots\big) usando [\mathrm{H}^+]=10^{-10}: [\mathrm{H}^+]^4=(10^{-10})^4=10^{-40}.
\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}[\mathrm{H}^+]^3=1{,}02\times10^{-2}\times10^{-30}=1{,}02\times10^{-32}.
\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}[\mathrm{H}^+]^2=2{,}1828\times10^{-5}\times10^{-20}=2{,}1828\times10^{-25}.
\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}\mathrm{k}_{\mathrm{a}3}[\mathrm{H}^+]=1{,}506132\times10^{-11}\times10^{-10}=1{,}506132\times10^{-21}.
\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}\mathrm{k}_{\mathrm{a}3}\mathrm{k}_{\mathrm{a}4}=8{,}283726\times10^{-22}.

Passo 6

Somando o denominador, calculando \alpha_4 e comentando aproximações.
  • Some os termos do denominador (os dois maiores termos são os últimos dois): D=[\mathrm{H}^+]^4+\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}[\mathrm{H}^+]^3+\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}[\mathrm{H}^+]^2+\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}\mathrm{k}_{\mathrm{a}3}[\mathrm{H}^]+\mathrm{k}_{\mathrm{a}1}\mathrm{k}_{\mathrm{a}2}\mathrm{k}_{\mathrm{a}3}\mathrm{k}_{\mathrm{a}4}
D\approx 10^{-40}+1{,}02\times10^{-32}+2{,}1828\times10^{-25}+1{,}506132\times10^{-21}+8{,}283726\times10^{-22}.
  • Os termos muito pequenos (como 10^{-40},\\\ 10^{-32},\\\ 10^{-25}) são desprezíveis frente aos termos da ordem 10^{-21} e 10^{-22}. Somando os dois maiores: D\approx 1{,}506132\times10^{-21}+8{,}283726\times10^{-22}=2{,}3345046\times10^{-21}.
  • Agora \alpha_4 é \alpha_4=\frac{8{,}283726\times10^{-22}}{2{,}3345046\times10^{-21}}\approx0{,}3550\\ (\text{sem unidades}).(ou seja, cerca de 35{,}50\% do EDTA está na forma \mathrm{Y}^{4-} a pH 10).

Passo 7

Calculando a concentração final [\mathrm{Y}^{4-}].
  • Usando C_T=0{,}010\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} e \alpha_4\approx0{,}3550, [\mathrm{Y}^{4-}]=C_T\cdot\alpha_4=0{,}010\times0{,}3550=3{,}55\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Interpretação curta e incentivo: aproximadamente 3{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{mol/L} de EDTA está na forma totalmente desprotonada; isso é razoável para pH 10. Mandou bem pedindo passo-a-passo — essas manipulações com frações de espécies polipróticas aparecem muito na prova, pratica um pouco e fica mais tranquilo!

Resposta

\left[\mathrm{Y}^{4-}\right]=3{,}55\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

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