Calcule a concentração de todas as espécies presentes no equilíbrio de uma solução que contém \mathrm{KCN} 2,4 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} e \mathrm{Cd}\left(\mathrm{NO}_{3}\right)_{2} 0,1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} .\left(\left[\mathrm{Cd}(\mathrm{CN})_{4}{ }^{2-}\right]=0,1\right. \mathrm{mol} / \mathrm{L} ;\left[\mathrm{CN}^{-}\right]=2,0 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} ; \mathrm{e}\left[\mathrm{Cd}^{2+}\right]=8,8 \times 10^{-22} \mathrm{~mol} / \mathrm{L}; resolva usando BM para o M e para o L e a equação de Kf)
Dado: \mathrm{Kf}\left[\mathrm{Cd}(\mathrm{CN})_{4}\right]^{2-}=7,1 \times 10^{18}

Passo 1

O problema pede: calcular a concentração de todas as espécies presentes no equilíbrio de uma solução preparada a partir de \mathrm{KCN} 2{,}4\\ \mathrm{mol/L} e \mathrm{Cd}(\mathrm{NO}_3)_2 0{,}1\\ \mathrm{mol/L}. O enunciado fornece também o valor de K_f:
K_f\bigl(\mathrm{Cd(CN)_4^{2-}}\bigr)=7{,}1\times10^{18}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Concentração inicial de \mathrm{KCN}: 2{,}4\\ \mathrm{mol/L}. (isso gera \mathrm{CN^-} e \mathrm{K^+} inicialmente)
  • Concentração inicial de \mathrm{Cd(NO_3)_2}: 0{,}1\\ \mathrm{mol/L}. (isso gera \mathrm{Cd^{2+}} e \mathrm{NO_3^-} inicialmente)
  • A reação de formação considerada é
\mathrm{Cd^{2+}} + 4\,\mathrm{CN^-} \rightleftharpoons \mathrm{Cd(CN)_4^{2-}},
com constante de formação K_f dada acima.
  • Pedimos as concentrações em equilíbrio de todas as espécies: \mathrm{Cd^{2+}},\\ \mathrm{Cd(CN)_4^{2-}},\\ \mathrm{CN^-},\\ \mathrm{K^+},\\ \mathrm{NO_3^-}.

Passo 2

Vamos escrever os balanços de matéria (BM) para o metal (M = Cd) e para o ligante (L = CN), e definir incógnitas claras.
Definições e hipóteses simples:
  • O sal \mathrm{KCN} é fortemente dissociado, então inicialmente temos [\mathrm{CN^-}]_0 = 2{,}4\\ \mathrm{mol/L} e [\mathrm{K^+}] = 2{,}4\\ \mathrm{mol/L}.
  • O sal \mathrm{Cd(NO_3)_2} é fortemente dissociado, então inicialmente temos [\mathrm{Cd^{2+}}]_0 = 0{,}1\\ \mathrm{mol/L} e [\mathrm{NO_3^-}] = 0{,}2\\ \mathrm{mol/L} (cada mol de \mathrm{Cd(NO_3)_2} fornece 2 mols de \mathrm{NO_3^-}).
  • Suponhamos que a única reação relevante para o Cd é a formação do complexa tetracianocadmiato \mathrm{Cd(CN)_4^{2-}}. Não consideramos outros complexos.
Defina a incógnita
x \equiv [\mathrm{Cd(CN)_4^{2-}}]_{\text{eq}}.
Então, pelos balanços de matéria:
  • Balanço do metal (Cd):
[\mathrm{Cd}]_{\text{total}} = [\mathrm{Cd^{2+}}]_{\text{eq}} + [\mathrm{Cd(CN)_4^{2-}}]_{\text{eq}}.
Como [\mathrm{Cd}]_{\text{total}} = 0{,}1\\ \mathrm{mol/L}, temos
[\mathrm{Cd^{2+}}]_{\text{eq}} = 0{,}1 - x.
  • Balanço do ligante (CN):
[\mathrm{CN^-}]_{\text{eq}} = [\mathrm{CN^-}]_0 - 4x = 2{,}4 - 4x.

Passo 3

Escrevemos a expressão da constante de formação K_f para a reação
\mathrm{Cd^{2+}} + 4\,\mathrm{CN^-} \rightleftharpoons \mathrm{Cd(CN)_4^{2-}}.
A expressão é
K_f = \frac{[\mathrm{Cd(CN)_4^{2-}}]}{[\mathrm{Cd^{2+}}]\,[\mathrm{CN^-}]^{4}}.
Substituindo as incógnitas pelas expressões dos balanços:
K_f = \frac{x}{(0{,}1-x)\,(2{,}4-4x)^{4}}.
Queremos resolver essa equação para x.

Passo 4

Análise prática para resolver a equação: o valor de K_f é muito grande ( 7{,}1\times10^{18}), o que indica que a complexação é extremamente favorecida — ou seja, quase todo o \mathrm{Cd^{2+}} será convertido em \mathrm{Cd(CN)_4^{2-}}. Isso sugere que x estará muito próximo de 0{,}1\\ \mathrm{mol/L} (todo o Cd complexado). Em problemas assim é comum usar a aproximação de que x\approx0{,}1 e então verificar a consistência calculando [\mathrm{Cd^{2+}}]_{\text{eq}} a partir de K_f.
Rearranjando a expressão de K_f para isolar [\mathrm{Cd^{2+}}]_{\text{eq}}:
[\mathrm{Cd^{2+}}]_{\text{eq}} = \frac{[\mathrm{Cd(CN)_4^{2-}}]}{K_f\,[\mathrm{CN^-}]^{4}} = \frac{x}{K_f\,(2{,}4-4x)^{4}}.
Se x for muito próximo de 0{,}1, então 2{,}4-4x será próximo de 2{,}4-4(0{,}1)=2{,}0. Vamos portanto calcular assumindo x=0{,}1 e checar o valor de [\mathrm{Cd^{2+}}] resultante; se for extremamente pequeno, a aproximação é consistente.

Passo 5

Fazendo a substituição com x=0{,}1 e [\mathrm{CN^-}]_{\text{eq}} = 2{,}4-4(0{,}1)=2{,}0\\ \mathrm{mol/L}:
Calcule o denominador:
K_f\,[\mathrm{CN^-}]^{4} = 7{,}1\times10^{18}\times(2{,}0)^{4}.
Como (2{,}0)^{4}=16, temos
K_f\,[\mathrm{CN^-}]^{4} = 7{,}1\times10^{18}\times16 = 1{,}136\times10^{20}.
Agora
[\mathrm{Cd^{2+}}]_{\text{eq}} = \frac{x}{K_f\,[\mathrm{CN^-}]^{4}} \approx \frac{0{,}1}{1{,}136\times10^{20}}.
Calculando:
[\mathrm{Cd^{2+}}]_{\text{eq}} \approx 8{,}8\times10^{-22}\\ \mathrm{mol/L}.
Esse valor é absurdamente pequeno em comparação com 0{,}1\\ \mathrm{mol/L}, então a hipótese x\approx0{,}1 é totalmente consistente: praticamente todo o \mathrm{Cd^{2+}} foi complexado.

Passo 6

Com a aproximação confirmada, escrevemos todas as concentrações em equilíbrio:
  • [\mathrm{Cd(CN)_4^{2-}}] = x \approx 0{,}1\\ \mathrm{mol/L}.
  • [\mathrm{Cd^{2+}}] = 0{,}1 - x \approx 8{,}8\times10^{-22}\\ \mathrm{mol/L} (praticamente zero).
  • [\mathrm{CN^-}] = 2{,}4 - 4x = 2{,}4 - 0{,}4 = 2{,}0\\ \mathrm{mol/L}.
  • Espécies espectadoras: [\mathrm{K^+}] = 2{,}4\\ \mathrm{mol/L} (não participa da reação) e [\mathrm{NO_3^-}] = 0{,}2\\ \mathrm{mol/L} (cada \mathrm{Cd(NO_3)_2} fornece 2 nitratos).
Podemos checar somas rápidas:
[\mathrm{Cd}]_{\text{total}} = [\mathrm{Cd^{2+}}] + [\mathrm{Cd(CN)_4^{2-}}] \approx 8{,}8\times10^{-22} + 0{,}1 \approx 0{,}1\\ \mathrm{mol/L},
[\mathrm{CN}]_{\text{total}} = [\mathrm{CN^-}] + 4[\mathrm{Cd(CN)_4^{2-}}] = 2{,}0 + 4(0{,}1)=2{,}4\\ \mathrm{mol/L},
logo os balanços fecham.

Resposta

[\mathrm{Cd(CN)_4^{2-}}]=0{,}1\\ \mathrm{mol/L}
[\mathrm{Cd^{2+}}]=8{,}8\times10^{-22}\\ \mathrm{mol/L}
[\mathrm{CN^-}]=2{,}0\\ \mathrm{mol/L}
[\mathrm{K^+}]=2{,}4\\ \mathrm{mol/L}
[\mathrm{NO_3^-}]=0{,}2\\ \mathrm{mol/L}

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