Calcule a concentração do íon hidrogênio, em mol \mathrm{dm}^{-3}, em cada uma das seguintes soluções de um ácido ou base e seu sal:
(b) \mathrm{HCHO}_{2} 0,50 \mathrm{M}, \mathrm{NaCHO}_{2} 0,50 \mathrm{M}

Passo 1

O que o exercício pede: calcular a concentração do íon hidrogênio, em mol \mathrm{dm}^{-3}, na solução que contém \mathrm{HCHO}_{2} 0{,}50\\ \mathrm{M} e \mathrm{NaCHO}_{2} 0{,}50\\ \mathrm{M}.
Informações dadas:
  • Concentração do ácido: \mathrm{HCHO}_{2} =0{,}50\\ \mathrm{M}.
  • Concentração do sal (conjugada base \mathrm{CHO}_{2}^{-}): \mathrm{NaCHO}_{2} =0{,}50\\ \mathrm{M}.
  • Não foi dada no enunciado a constante de acidez K_a do ácido fórmico ( \mathrm{HCHO}_{2}), portanto usarei o valor tabulado usual à 25^\circ\mathrm{C}: K_a=1{,}8\times10^{-4}. Vou usar esse valor explicitamente ao aplicar as fórmulas.

Passo 2

Conceito fundamental (definição de K_a) — aula rápida e tranquila:
O ácido fraco \mathrm{HCHO}_{2} se dissocia em água segundo a reação
\mathrm{HCHO}_{2} \rightleftharpoons \mathrm{H}^{+} + \mathrm{CHO}_{2}^{-}.
A constante de acidez K_a é definida por
K_a=\frac{[\mathrm{H}^{+}]\,[\mathrm{CHO}_{2}^{-}]}{[\mathrm{HCHO}_{2}]},
onde [\mathrm{H}^{+}] é a concentração do íon hidrogênio em equilíbrio, [\mathrm{CHO}_{2}^{-}] é a concentração da base conjugada e [\mathrm{HCHO}_{2}] é a concentração do ácido restante em equilíbrio. Cada colchete indica concentração molar (mol \mathrm{dm}^{-3}).

Passo 3

Deduzindo a relação útil (Henderson–Hasselbalch) — passo a passo:
Tomamos log10 de ambos os lados da expressão de K_a:
\log K_a = \log [\mathrm{H}^{+}] + \log [\mathrm{CHO}_{2}^{-}] - \log [\mathrm{HCHO}_{2}].
Rearranjando para \log [\mathrm{H}^{+}]:
\log [\mathrm{H}^{+}] = \log K_a + \log\frac{[\mathrm{HCHO}_{2}]}{[\mathrm{CHO}_{2}^{-}]}.
Mudando de sinal e passando para p-notation (lembrando que \mathrm{pH} = -\log [\mathrm{H}^{+}] e \mathrm{p}K_a = -\log K_a), obtemos a forma conhecida:
\mathrm{pH} = \mathrm{p}K_a + \log\frac{[\mathrm{A}^{-}]}{[\mathrm{HA}]},
onde [\mathrm{A}^{-}]=[\mathrm{CHO}_{2}^{-}] e [\mathrm{HA}]=[\mathrm{HCHO}_{2}]. Esta é a equação de Henderson–Hasselbalch. Explicando as variáveis:
  • \mathrm{pH} é o log negativo da concentração de \mathrm{H}^{+}.
  • \mathrm{p}K_a é o log negativo da constante K_a.
  • A razão [\mathrm{A}^{-}]/[\mathrm{HA}] é a razão entre a base conjugada e o ácido em equilíbrio (aqui, aproximadamente igual às razões iniciais se as mudanças por dissociação forem pequenas).

Passo 4

Aplicando ao caso dado (razão igual a 1):
Aqui temos as concentrações iniciais iguais: [\mathrm{HCHO}_{2}]_0=0{,}50\\ \mathrm{M} e [\mathrm{CHO}_{2}^{-}]_0=0{,}50\\ \mathrm{M}. Em tampões com quantidades maciças (0{,}50 é muito maior que o quanto o ácido se dissocia), podemos usar a razão inicial na equação de Henderson–Hasselbalch. Como a razão é
\frac{[\mathrm{A}^{-}]}{[\mathrm{HA}]}=\frac{0{,}50}{0{,}50}=1,
temos
\mathrm{pH}=\mathrm{p}K_a+\log 1=\mathrm{p}K_a+0=\mathrm{p}K_a.
Logo, [\mathrm{H}^{+}]=10^{-\mathrm{pH}}=10^{-\mathrm{p}K_a}=K_a.
Isto é uma conclusão prática importante: quando ácido e base conjugada têm a mesma concentração, a concentração de \mathrm{H}^{+} na solução tampão é aproximadamente igual a K_a.

Passo 5

Usando o valor numérico de K_a (valor tabulado):
Adotei K_a(\mathrm{HCHO}_{2})=1{,}8\times10^{-4} (valor típico a 25^\circ\mathrm{C}). Então, pela conclusão do passo anterior,
[\mathrm{H}^{+}]\approx K_a=1{,}8\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ dm^{-3}}.

Passo 6

Verificação rápida da aproximação (para ficar seguro):
Se quisermos montar o equilíbrio exato, chamamos x=[\mathrm{H}^{+}] em equilíbrio. Com as concentrações iniciais 0{,}50 e 0{,}50 teríamos
K_a=\frac{x(0{,}50+x)}{0{,}50-x}.
Como K_a é pequeno comparado a 0{,}50 (ordem de 10^{-4} vs 10^{-1}), x\ll0{,}50 e a aproximação x\approx K_a é muito boa. Substituindo valores dá um x praticamente igual a 1{,}8\times10^{-4}, então a resposta está consistente.

Resposta

\;1{,}8\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ dm^{-3}}

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