Calcule a concentração de metal que permanece livre em solução nas seguintes situações:
Mistura de 26,50 \mathrm{~mL} de \mathrm{Mg}\left(\mathrm{NO}_{3}\right)_{2} 0,0741 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} com 45,0 \mathrm{~mL} de EDTA 0,0491 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}\left(\mathrm{~K}_{\mathrm{Mgr}}=4,9 \times 10^{8}\right).

Passo 1

O enunciado pede: calcular a concentração do metal que permanece livre em solução depois de misturar duas soluções. Dados fornecidos:
\displaystyle V_{\mathrm{Mg}}=26,50\\ \mathrm{mL}, \displaystyle C_{\mathrm{Mg}}=0,0741\\ \mathrm{mol\;L^{-1}};
\displaystyle V_{\mathrm{EDTA}}=45,0\\ \mathrm{mL}, \displaystyle C_{\mathrm{EDTA}}=0,0491\\ \mathrm{mol\;L^{-1}};
constante de formação da complexação \displaystyle K_{\mathrm{f}}=4,9\times 10^{8}.
As perguntas: qual é a concentração em mol L^{-1} de \mathrm{Mg}^{2+} livre no equilíbrio após a mistura?

Passo 2

Calcular mols iniciais e volume total.
Mols de magnésio:
n_{\mathrm{Mg}}=V_{\mathrm{Mg}}\cdot C_{\mathrm{Mg}}=0,02650\cdot 0,0741=0,00196365\\ \mathrm{mol}.
Mols de EDTA:
n_{\mathrm{EDTA}}=V_{\mathrm{EDTA}}\cdot C_{\mathrm{EDTA}}=0,04500\cdot 0,0491=0,00220950\\ \mathrm{mol}.
Volume total:
V_{\mathrm{tot}}=0,02650+0,04500=0,07150\\ \mathrm{L}.
Concentrações totais iniciais (antes da reação, em mol L^{-1}):
\begin{aligned} \left[\mathrm{Mg}\right]_{T}&=\dfrac{n_{\mathrm{Mg}}}{V_{\mathrm{tot}}}=\dfrac{0,00196365}{0,07150}=0,0274675\\ \mathrm{mol\;L^{-1}},\\[6pt] \left[\mathrm{EDTA}\right]_{T}&=\dfrac{n_{\mathrm{EDTA}}}{V_{\mathrm{tot}}}=\dfrac{0,00220950}{0,07150}=0,0308825\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}. \end{aligned}]

Passo 3

Escrevemos a reação de complexação (supondo EDTA na forma totalmente desprotonada Y^{4-}):
\mathrm{Mg}^{2+}+Y^{4-}\rightleftharpoons \mathrm{Mg}Y^{2-}.
A constante de formação é
\displaystyle K_{\mathrm{f}}=\dfrac{[\mathrm{Mg}Y^{2-}]}{[\mathrm{Mg}^{2+}]\,[Y^{4-}]},
onde cada concentração é a concentração no equilíbrio. Vou ensinar: K_{\mathrm{f}} mede o quanto o complexo é favorecido; K_{\mathrm{f}} grande significa quase todo o metal ligado.

Passo 4

Definimos x como a concentração de \mathrm{Mg}^{2+} livre no equilíbrio:
x\equiv [\mathrm{Mg}^{2+}]_{\text{livre}}.
Então a concentração do complexo será
[\mathrm{Mg}Y^{2-}]=\left[\mathrm{Mg}\right]_{T}-x,
e a concentração de EDTA livre será
[Y^{4-}] = \left[\mathrm{EDTA}\right]_{T}-[\mathrm{Mg}Y^{2-}]=\left[\mathrm{EDTA}\right]_{T}-\left(\left[\mathrm{Mg}\right]_{T}-x\right)=\left[\mathrm{EDTA}\right]_{T}-\left[\mathrm{Mg}\right]_{T}+x.
Substituindo na expressão de K_{\mathrm{f}}:
K_{\mathrm{f}}=\dfrac{\left[\mathrm{Mg}\right]_{T}-x}{x\left(\left[\mathrm{EDTA}\right]_{T}-\left[\mathrm{Mg}\right]_{T}+x\right)}.

Passo 5

Resolvendo a equação exata daria uma equação quadrática complicada. Contudo, aqui K_{\mathrm{f}}=4,9\times 10^{8} é muito grande, o que normalmente implica que quase todo o magnésio fica complexado e x será muito pequeno comparado a \left[\mathrm{Mg}\right]_{T} e também muito pequeno comparado a \left[\mathrm{EDTA}\right]_{T}-\left[\mathrm{Mg}\right]_{T} (se houver excesso de EDTA). Vamos checar os números: \left[\mathrm{EDTA}\right]_{T}-\left[\mathrm{Mg}\right]_{T}=0,0308825-0,0274675=0,0034150\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} (excesso pequeno, mas ainda muito maior que esperamos para x). Assim podemos aproximar na expressão de K_{\mathrm{f}} que \left[\mathrm{Mg}\right]_{T}-x\approx\left[\mathrm{Mg}\right]_{T} e \left[\mathrm{EDTA}\right]_{T}-\left[\mathrm{Mg}\right]_{T}+x\approx\left[\mathrm{EDTA}\right]_{T}-\left[\mathrm{Mg}\right]_{T}. Com isso:
K_{\mathrm{f}}\approx \dfrac{\left[\mathrm{Mg}\right]_{T}}{x\left(\left[\mathrm{EDTA}\right]_{T}-\left[\mathrm{Mg}\right]_{T}\right)}.
Isolando x:
x\approx \dfrac{\left[\mathrm{Mg}\right]_{T}}{K_{\mathrm{f}}\left(\left[\mathrm{EDTA}\right]_{T}-\left[\mathrm{Mg}\right]_{T}\right)}.
Essa é uma aproximação muito comum em provas: quando K_{\mathrm{f}} é grande, você pode linearizar e obter x pequeno por essa fórmula. Depois sempre verificamos se a condição de pequena x foi válida.

Passo 6

Substituímos valores numéricos:
\left[\mathrm{Mg}\right]_{T}=0,0274675,\qquad \left[\mathrm{EDTA}\right]_{T}-\left[\mathrm{Mg}\right]_{T}=0,0034150,\qquad K_{\mathrm{f}}=4,9\times 10^{8}.
Logo
x\approx \dfrac{0,0274675}{(4,9\times 10^{8})\cdot 0,0034150}.
Calcule o denominador passo a passo:
(4,9\times 10^{8})\cdot 0,0034150 = 4,9\times 10^{8}\times 3,415\times 10^{-3}= (4,9\cdot 3,415)\times 10^{5}=16,7335\times 10^{5}=1,67335\times 10^{6}.
Agora
x\approx \dfrac{0,0274675}{1,67335\times 10^{6}}=1,641\times 10^{-8}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Verificação rápida da hipótese: x\ll 0,0034150 e x\ll 0,0274675 (pois 1,64\times 10^{-8} é muito menor que ambos), então a aproximação é auto-consistente.

Passo 7

Interpretação final (pequena motivação): o resultadinho mostra que, com uma constante de formação tão grande, praticamente todo o magnésio ficou ligado ao EDTA e a concentração de magnésio livre é quase zero — exatamente o que você espera em titulações com EDTA. Isso é ótimo para a prova: identificar que dá para usar a aproximação e calcular direto com a fórmula acima economiza tempo.

Resposta

1,64\times 10^{-8}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}

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