Calcule a concentração de metal que permanece livre em solução nas seguintes situações:
Solução \mathrm{CdY}^{2 .} 0,1500 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}\left(\mathrm{~K}_{\mathrm{cor}}=2,9 \times 10^{16}\right) \mathrm{em} \mathrm{pH} 8\left(\alpha_{\gamma}{ }^{(\mathrm{H})}=199,5\right).

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule a concentração de metal que permanece livre em solução” para a solução em que há o complexo \mathrm{CdY}^{2-} com concentração formal (total) \;0{,}1500\;\mathrm{mol\;L^{-1}}. As informações dadas são:
\text{K}_{\text{cor}} = 2{,}9\times 10^{16},
pH =8 e
\alpha_{\gamma}^{(\mathrm{H})} = 199{,}5.
Ou seja, temos a constante de formação muito grande e um fator \alpha_{\gamma}^{(\mathrm{H})} relativo ao estado de protonação do ligante. A pergunta é encontrar a concentração de \mathrm{Cd^{2+}} livre em equilíbrio.

Passo 2

Entendendo os conceitos importantes (aula rápida e prática):
  • A constante de formação intrínseca (para o ligante totalmente deprotonado) para o equilíbrio
\mathrm{Cd^{2+}} + \mathrm{Y}^{2-} \rightleftharpoons \mathrm{CdY}^{2-}
é \beta. Ela se escreve
\beta=\frac{[\mathrm{CdY}]}{[\mathrm{Cd^{2+}}]\,[\mathrm{Y}^{2-}]}.
  • Se o ligante \gamma tem várias formas protonadas a um determinado pH, só uma fração dele está na forma reativa \mathrm{Y}^{2-}. Denotamos a fração reativa por
\alpha_{\text{frac}}=\frac{[\mathrm{Y}^{2-}]}{C_{\gamma,\text{total}}}.
  • A constante condicional (no pH dado), que relaciona a espécie complexada com a concentração total de ligante C_{\gamma,\text{total}}, é
\beta'=\beta\cdot\alpha_{\text{frac}},
porque \beta'=\dfrac{[\mathrm{CdY}]}{[\mathrm{Cd^{2+}}]\,C_{\gamma,\text{total}}}. Em palavras: \beta' usa a concentração total de ligante no denominador, já levando em conta que só a fração \alpha_{\text{frac}} está disponível para complexar.
  • No enunciado foi dado \alpha_{\gamma}^{(\mathrm{H})}=199{,}5. Interpretamos esse número como a razão
\alpha_{\gamma}^{(\mathrm{H})}=\frac{C_{\gamma,\text{total}}}{[\mathrm{Y}^{2-}]},
ou seja, é o inverso da fração reativa. Logo
\alpha_{\text{frac}}=\frac{1}{\alpha_{\gamma}^{(\mathrm{H})}}.
(Isto é uma forma comum de apresentar o fator de protonação: às vezes dão o fator de “diluição” do ligand reativo em função do pH.)

Passo 3

Calcule a fração do ligante na forma reativa \mathrm{Y}^{2-}:
\alpha_{\text{frac}}=\frac{1}{\alpha_{\gamma}^{(\mathrm{H})}}=\frac{1}{199{,}5}.
Vamos calcular numericamente:
\alpha_{\text{frac}}=\frac{1}{199{,}5}=0{,}0050125313\ldots

Passo 4

Calcule a constante condicional \beta' (constante de formação efetiva ao pH dado):
\beta'=\beta\cdot\alpha_{\text{frac}}.
Tomando \beta=\text{K}_{\text{cor}}=2{,}9\times 10^{16} (interpretação: K_cor é a constante intrínseca de formação) obtemos
\beta'=(2{,}9\times 10^{16})\times 0{,}0050125313\ldots
\beta' \approx 1{,}453634\times 10^{14}.

Passo 5

Monte o balanço de massas e a expressão de equilíbrio usando \beta':
  • Denote C a concentração formal de complexo/ligante total inicial: C=0{,}1500\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}. Aqui assumimos que a quantidade total de ligante adicionada (formal) é igual à concentração indicada (caso típico quando a solução é preparada como \mathrm{CdY}^{2-} a essa concentração).
  • Seja x=[\mathrm{Cd^{2+}}] a concentração de metal livre que se forma por dissociação. Então a concentração de complexo em equilíbrio é [ \mathrm{CdY} ] = C - x.
  • Pela definição de \beta':
\beta'=\frac{[\mathrm{CdY}]}{[\mathrm{Cd^{2+}}]\;C_{\gamma,\text{total}}} =\frac{C-x}{x\,C}.
  • Resolva para x:
\beta'=\frac{C-x}{xC}\quad\Rightarrow\quad \beta' C x = C - x
x(\beta' C + 1)=C
x=\frac{C}{1+\beta' C}.
Esta fórmula é muito prática: dá diretamente a concentração de metal livre quando se usa a constante condicional \beta' que tem o total de ligante no denominador.

Passo 6

Substitua os valores numéricos:
\beta' C = (1{,}453634\times 10^{14})\times 0{,}1500 = 2{,}180451\times 10^{13}.
Portanto
x=[\mathrm{Cd^{2+}}]=\frac{0{,}1500}{1+2{,}180451\times 10^{13}} \approx \frac{0{,}1500}{2{,}180451\times 10^{13}}.
Calcule:
[\mathrm{Cd^{2+}}]\approx 6{,}88\times 10^{-15}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Resposta

6{,}88\times 10^{-15}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}

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