Calcule as concentraçöes de todas as espécies presentes numa solução de \mathrm{H}_{2} \mathrm{CO}_{3} 0,25 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}.
Dados: \mathrm{Ka}_{1}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{CO}_{3}\right)=4,3 \times 10^{-7} ; \mathrm{Ka}_{2}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{CO}_{3}\right)=5,6 \times 10^{-11}

Passo 1

O enunciado pede: calcular as concentrações de todas as espécies presentes numa solução de \mathrm{H}_2\mathrm{CO}_3 de concentração inicial 0{,}25\\ \mathrm{mol/L}.\n
Informações dadas:
\mathrm{Ka}_1(\mathrm{H}_2\mathrm{CO}_3)=4{,}3\times 10^{-7},\qquad \mathrm{Ka}_2(\mathrm{H}_2\mathrm{CO}_3)=5{,}6\times 10^{-11}.
Espécies que aparecem na solução (devemos calcular as concentrações): \mathrm{H}_2\mathrm{CO}_3 (ácido inicial), \mathrm{HCO}_3^{-}, \mathrm{CO}_3^{2-}, \mathrm{H}^+ e \mathrm{OH}^-.

Passo 2

Vamos montar as duas reações de dissociação (sucessivas) e introduzir incógnitas para os avanços:
\text{1ª: }\mathrm{H}_2\mathrm{CO}_3 \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{HCO}_3^-,\qquad \mathrm{Ka}_1=\frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{HCO}_3^-]}{[\mathrm{H}_2\mathrm{CO}_3]}ª
\text{2ª: }\mathrm{HCO}_3^- \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{CO}_3^{2-},\qquad \mathrm{Ka}_2=\frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{CO}_3^{2-}]}{[\mathrm{HCO}_3^-]}ª
Seja C=0{,}25\\ \mathrm{M} a concentração inicial de \mathrm{H}_2\mathrm{CO}_3. Denotemos por x o avanço da primeira dissociação (concentração de \mathrm{H}^+ e \mathrm{HCO}_3^- produzidos pela primeira etapa) e por y o avanço da segunda dissociação (concentração de \mathrm{CO}_3^{2-} formada). Assim, no equilíbrio:
[\mathrm{H}_2\mathrm{CO}_3]=C-x,\quad [\mathrm{HCO}_3^-]=x-y,\quad [\mathrm{CO}_3^{2-}]=y,\quad [\mathrm{H}^+]=x+y \\ (\text{desprezando inicialmente } [\mathrm{H}^+]_{\text{água}})á

Passo 3

Equilíbrio da primeira dissociação: escrevemos a expressão de \mathrm{Ka}_1:
\mathrm{Ka}_1=\frac{(x)(x)}{C-x}=\frac{x^2}{C-x}.
Isso dá a equação
x^2 = \mathrm{Ka}_1 (C-x)\quad\Rightarrow\quad x^2 + \mathrm{Ka}_1 x - \mathrm{Ka}_1 C = 0.
Podemos resolver a quadrática, mas como \mathrm{Ka}_1 é pequena relativamente a C (veja o cálculo adiante) é muito comum usar a aproximação x \ll C, que leva à fórmula aproximada
x\approx\sqrt{\mathrm{Ka}_1 \, C}.
Vou usar essa aproximação e em seguida verifico se ela é válida.

Passo 4

Calculemos numericamente x aproximado:
x\approx\sqrt{(4{,}3\times 10^{-7})\cdot(0{,}25)}=\sqrt{1{,}075\times 10^{-7}}=3{,}28\times 10^{-4}\\ \mathrm{M}.
Verificação da aproximação x\ll C: \dfrac{x}{C}=\dfrac{3{,}28\times 10^{-4}}{0{,}25}=1{,}31\times 10^{-3}=0{,}131\%, muito pequeno, então a aproximação é perfeitamente válida. Logo:
[\mathrm{H}^+]\approx 3{,}28\times 10^{-4}\\ \mathrm{M}\quad\text{(proveniente principalmente da 1ª dissociação)}ªçã
[\mathrm{HCO}_3^-]\approx x \approx 3{,}28\times 10^{-4}\\ \mathrm{M}
[\mathrm{H}_2\mathrm{CO}_3]\approx C-x \approx 0{,}25-3{,}28\times 10^{-4}=0{,}249672\\ \mathrm{M}\approx 0{,}2497\\ \mathrm{M}.

Passo 5

Agora tratamos a segunda dissociação, partindo das concentrações obtidas pela primeira. A expressão da segunda constante é
\mathrm{Ka}_2=\frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{CO}_3^{2-}]}{[\mathrm{HCO}_3^-]}=\frac{(x+y)\,y}{x-y}.
Aqui x é conhecido aproximadamente ( 3{,}28\times 10^{-4}\\ \mathrm{M}) e y é desconhecido. Observação prática: como \mathrm{Ka}_2 é muito pequena, espera-se que y\ll x, então podemos aproximar x+y\approx x e x-y\approx x. Com isso:
\mathrm{Ka}_2\approx\frac{x\cdot y}{x}=y \quad\Rightarrow\quad y\approx \mathrm{Ka}_2.

Passo 6

Cálculo numérico de y (concentração de \mathrm{CO}_3^{2-}):
y\approx \mathrm{Ka}_2 = 5{,}6\times 10^{-11}\\ \mathrm{M}.
Como era esperado, y é extremamente pequeno comparado a x (compare 5{,}6\times 10^{-11} com 3{,}28\times 10^{-4}) e a aproximação y\ll x é válida.

Passo 7

Atualizamos as concentrações finais:
[\mathrm{CO}_3^{2-}]=y\approx 5{,}6\times 10^{-11}\\ \mathrm{M},
[\mathrm{HCO}_3^-]=x-y\approx 3{,}28\times 10^{-4}-5{,}6\times 10^{-11}\approx 3{,}28\times 10^{-4}\\ \mathrm{M}\\ (\text{mesma ordem, mudança desprezível}).çí
A concentração de \mathrm{H}^+ final é
[\mathrm{H}^+]=x+y\approx 3{,}28\times 10^{-4}+5{,}6\times 10^{-11}\approx 3{,}28\times 10^{-4}\\ \mathrm{M}.

Passo 8

Calculamos [\mathrm{OH}^-] a partir da constante de autoionização da água K_w=1{,}0\times 10^{-14} (assumindo 25^\circ\mathrm{C}):
[\mathrm{OH}^-]=\frac{K_w}{[\mathrm{H}^+]}=\frac{1{,}0\times 10^{-14}}{3{,}28\times 10^{-4}}=3{,}05\times 10^{-11}\\ \mathrm{M}.
Note que [\mathrm{OH}^-] tem ordem de grandeza comparável a [\mathrm{CO}_3^{2-}], mas ambas são muito pequenas.

Resposta

[ \mathrm{H}_2\mathrm{CO}_3 ]=0{,}2497\\ \mathrm{M}\n
[ \mathrm{HCO}_3^- ]=3{,}28\times 10^{-4}\\ \mathrm{M}\n
[ \mathrm{CO}_3^{2-} ]=5{,}6\times 10^{-11}\\ \mathrm{M}\n
[ \mathrm{H}^+ ]=3{,}28\times 10^{-4}\\ \mathrm{M}\n
[ \mathrm{OH}^- ]=3{,}05\times 10^{-11}\\ \mathrm{M}

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