Calcule a solubilidade do AgI nas seguintes soluçōes:
(b) Solução de \mathrm{NH}_{3} 0,80 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}
Dados: Kps(AgI)=8,5 \times 10^{-17} ; K_{text {form }}. (ion diaminprata \left.(I)\right)=1,7 \times 10^{7}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a solubilidade do sal sólido \mathrm{AgI} em uma solução aquosa que contém \mathrm{NH}_3 na concentração \,0,80\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Informações dadas (vou escrever exatamente como foram dadas):
K_{sp}(\mathrm{AgI}) = 8,5\times 10^{-17},
K_{\text{form}}\\ (\text{íon diamina prata(I) } \left[\mathrm{Ag(NH_3)_2}\right]^+) = 1,7\times 10^{7},í
concentração inicial de \mathrm{NH}_3: \,[\mathrm{NH}_3]=0,80\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Observação do enunciado: a constante de formação refere-se ao íon \left[\mathrm{Ag(NH_3)_2}\right]^+ (diamina prata(I)).

Passo 2

Escrevendo as reações e constantes de equilíbrio relevantes (isso explica fisicamente o que está acontecendo):
Dissolução do sal:
\mathrm{AgI}(s)\rightleftharpoons \mathrm{Ag}^+ + \mathrm{I}^- \quad\text{com}\quad K_{sp}=[\mathrm{Ag}^+][\mathrm{I}^-].
Formação do complexo:
\mathrm{Ag}^+ + 2\,\mathrm{NH}_3 \rightleftharpoons \left[\mathrm{Ag(NH_3)_2}\right]^+ \quad\text{com}\quad K_f=\frac{[\mathrm{Ag(NH_3)_2}^+]}{[\mathrm{Ag}^+][\mathrm{NH}_3]^2}.
Intuição: a presença de \mathrm{NH}_3 captura parte dos \mathrm{Ag}^+ formando o complexo, reduzindo [\mathrm{Ag}^+] livre e, pela expressão do K_{sp}, permitindo que mais \mathrm{AgI} se dissolva (a solubilidade aumenta).

Passo 3

Defino a incógnita e faço o balanço de matéria:
Seja s a solubilidade do \mathrm{AgI} em mol \,\mathrm{L^{-1}} nessa solução de \mathrm{NH}_3. Então:
  • Cada mol de \mathrm{AgI} dissolvido produz 1 mol de \mathrm{I}^-, logo [\mathrm{I}^-]=s.
  • O prata dissolvido aparece como \mathrm{Ag}^+ livre e como \left[\mathrm{Ag(NH_3)_2}\right]^+. Portanto o balanço de prata é
s = [\mathrm{Ag}^+] + [\mathrm{Ag(NH_3)_2}^+].

Passo 4

Escrevo as expressões de equilíbrio e as relaciono a s.
Pelo K_{sp}:
K_{sp} = [\mathrm{Ag}^+][\mathrm{I}^-] \quad\Rightarrow\quad [\mathrm{Ag}^+] = \frac{K_{sp}}{[\mathrm{I}^-]} = \frac{K_{sp}}{s}.
Pela expressão de K_f (isolando o termo do complexo):
[\mathrm{Ag(NH_3)_2}^+] = K_f\,[\mathrm{Ag}^+]\,[\mathrm{NH}_3]^2.
Agora substituo [\mathrm{Ag}^+] obtido do K_{sp} nessa expressão:
[\mathrm{Ag(NH_3)_2}^+] = K_f\left(\frac{K_{sp}}{s}\right)[\mathrm{NH}_3]^2 = \frac{K_{sp}K_f[\mathrm{NH}_3]^2}{s}.

Passo 5

Uso o balanço de prata s = [\mathrm{Ag}^+] + [\mathrm{Ag(NH_3)_2}^+] e substituo as expressões encontradas:
s = \frac{K_{sp}}{s} + \frac{K_{sp}K_f[\mathrm{NH}_3]^2}{s}.
Coloco em forma mais simples (colocando tudo sobre o mesmo denominador e multiplicando por s):
s^2 = K_{sp}\big(1 + K_f\,[\mathrm{NH}_3]^2\big).
Este é o resultado algébrico central: a solubilidade s aparece ao quadrado e é dada pelas constantes conhecidas e pela concentração de \mathrm{NH}_3.
Explicando as variáveis:
  • s é a solubilidade molar que queremos.
  • K_{sp} é a constante de solubilidade do \mathrm{AgI}.
  • K_f é a constante de formação do complexo diamina.
  • [\mathrm{NH}_3] é a concentração de amônia fornecida.

Passo 6

Agora faço as contas substituindo os números. Primeiro calculo [\mathrm{NH}_3]^2:
[\mathrm{NH}_3]^2 = (0,80)^2 = 0,64.
Calculo 1 + K_f[\mathrm{NH}_3]^2:
1 + K_f[\mathrm{NH}_3]^2 = 1 + (1,7\times 10^{7})\times 0,64 = 1 + 1,088\times 10^{7} \approx 1,088\times 10^{7}.
Multiplico por K_{sp}:
s^2 = K_{sp}\big(1 + K_f[\mathrm{NH}_3]^2\big) = (8,5\times 10^{-17})\times (1,088\times 10^{7}) = 9,248\times 10^{-10}.
Agora extraio a raiz quadrada:
s = \sqrt{9,248\times 10^{-10}} = \sqrt{9,248}\times 10^{-5} \approx 3,04\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 7

Verificação curta (checar hipóteses): calcule [\mathrm{Ag}^+] livre para ver se é realmente pequeno em comparação com s:
[\mathrm{Ag}^+] = \frac{K_{sp}}{s} = \frac{8,5\times 10^{-17}}{3,04\times 10^{-5}} \approx 2,8\times 10^{-12}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Isso é muito menor que s (que é \sim 3\times 10^{-5}), então quase todo o prata dissolvido está na forma complexa \left[\mathrm{Ag(NH_3)_2}\right]^+, e a aproximação e o raciocínio estão consistentes.

Resposta

3,04\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}

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