Calcule a condutividade térmica (a) do argônio e (b) do hélio, a 300 K e 1,0 mbar. Cada gás está confinado num vaso cúbico, de aresta igual a 10 cm, com uma face a 310 K e a face oposta a 295 K. Qual a taxa do fluxo de energia térmica de uma parede para a outra, em cada caso?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve calcular a condutividade térmica de dois gases, argônio e hélio, numa situação específica. A situação é a seguinte: cada gás está dentro de um vaso cúbico com aresta de 10 cm. Uma das faces do vaso está a 310 K e a face oposta está a 295 K. A pressão é de 1,0 mbar e a temperatura média é de 300 K. Precisamos descobrir:
(a) Qual a condutividade térmica do argônio e do hélio nessa condição.
(b) Qual é a taxa de fluxo de energia térmica que passa de uma parede para a outra para cada gás.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especialmente a condutividade térmica e a Lei de Fourier para o fluxo de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é condutividade térmica. Ela é uma propriedade dos materiais que indica a capacidade de conduzir calor. Quanto maior a condutividade, mais fácil é para o calor passar pelo material.
Nos gases, a condutividade térmica depende de fatores como a massa molecular, a temperatura e a pressão. Para calcular a condutividade térmica dos gases argônio e hélio, vamos usar uma fórmula derivada da Teoria Cinética dos Gases:
k = 13 Cv lambda v
Onde:
  • $ k $ é a condutividade térmica,
  • $ C_v $ é a capacidade calorífica a volume constante,
  • $ \lambda $ é o comprimento livre médio das moléculas,
  • $ \overline{v} $ é a velocidade média das moléculas.

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas partes para os gases argônio e hélio. Primeiro, precisamos de algumas propriedades dos gases:
Para o hélio:
  • Massa molecular ($ M $) = 4 g/mol,
  • Capacidade calorífica a volume constante ($ C_v $) ≈ $ \frac{3}{2} R $, onde $ R $ é a constante dos gases ($ R ≈ 8,314 , J/mol·K $),
  • Diâmetro molecular ($ d $) ≈ 0,28 nm.
Para o argônio:
  • Massa molecular ($ M $) = 40 g/mol,
  • Capacidade calorífica a volume constante ($ C_v $) ≈ $ \frac{5}{2} R $,
  • Diâmetro molecular ($ d $) ≈ 0,34 nm.

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade média ($ \overline{v} $) das moléculas, que pode ser dada por:
v
Onde:
  • $ k_B $ é a constante de Boltzmann ($ 1,381 \times 10^{-23} , J/K $),
  • $ T $ é a temperatura (300 K),
  • $ m $ é a massa de uma molécula do gás.
Para encontrar $ m v = raiz8 kB Tpi m ú N_A \approx 6,022 \times 10^{23} , mol^{-1} $):
kB
Vamos calcular para cada gás:
Hélio:
1,381 times 10^-23 , J/K
T
Argônio:
m
m

Passo 5

Agora, vamos calcular o comprimento livre médio ($ \lambda $), que é a distância média que uma molécula viaja antes de colidir com outra molécula. A fórmula é:
lambda
Onde:
  • $ P $ é a pressão (1,0 mbar = $ 100 , Pa $),
  • $ d $ é o diâmetro molecular.
Vamos calcular para cada gás:
Hélio:
lambda = kB Traiz2 pi d^2 P
Argônio:
P

Passo 6

Agora que temos $ C_v $, $ \overline{v} $ e $ \lambda Cv é k $) para cada gás usando a fórmula inicial:
v
Primeiro, calculamos $ C_v $:
Hélio:
lambda
Argônio:
k
Agora, substituímos na fórmula de $ k $:
Hélio:
k = 13 Cv lambda v
Argônio:
Cv

Passo 7

Agora que temos a condutividade térmica de cada gás, vamos calcular a taxa de fluxo de energia térmica usando a Lei de Fourier:
dotQ = -k A De
Onde:
  • $ \dot{Q} $ é a taxa de fluxo de energia,
  • $ k $ é a condutividade térmica,
  • $ A $ é a área da face do vaso,
  • $ \Delta T $ é a diferença de temperatura,
  • $ L $ é a distância entre as faces.
Vamos remover o sinal negativo, já que estamos interessados apenas na magnitude do fluxo.
Dados:
  • $ A = (0,10 , m)^2 = 0,01 , m^2 $,
  • $ \Delta T = 310 , K - 295 , K = 15 , K $,
  • $ L = 0,10 , m $.
Vamos calcular para cada gás:
Hélio:
dotQ
Argônio:
k

Resposta

(a) A condutividade térmica a 300 K e 1,0 mbar é aproximadamente 0,0568 W/m·K para o hélio e 0,0189 W/m·K para o argônio.
(b) A taxa de fluxo de energia térmica é de aproximadamente 0,085 W para o hélio e 0,028 W para o argônio.

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