Calcule a condutividade térmica (a) do argônio e (b) do hélio, a 300 K e 1,0 mbar. Cada gás está confinado num vaso cúbico, de aresta igual a 10 cm, com uma face a 310 K e a face oposta a 295 K. Qual a taxa do fluxo de energia térmica de uma parede para a outra, em cada caso?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve calcular a condutividade térmica de dois gases, argônio e hélio, numa situação específica. A situação é a seguinte: cada gás está dentro de um vaso cúbico com aresta de 10 cm. Uma das faces do vaso está a 310 K e a face oposta está a 295 K. A pressão é de 1,0 mbar e a temperatura média é de 300 K. Precisamos descobrir:
(a) Qual a condutividade térmica do argônio e do hélio nessa condição.
(b) Qual é a taxa de fluxo de energia térmica que passa de uma parede para a outra para cada gás.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especialmente a condutividade térmica e a Lei de Fourier para o fluxo de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é condutividade térmica. Ela é uma propriedade dos materiais que indica a capacidade de conduzir calor. Quanto maior a condutividade, mais fácil é para o calor passar pelo material.
Nos gases, a condutividade térmica depende de fatores como a massa molecular, a temperatura e a pressão. Para calcular a condutividade térmica dos gases argônio e hélio, vamos usar uma fórmula derivada da Teoria Cinética dos Gases:
Onde:
- $ k $ é a condutividade térmica,
- $ C_v $ é a capacidade calorífica a volume constante,
- $ \lambda $ é o comprimento livre médio das moléculas,
- $ \overline{v} $ é a velocidade média das moléculas.
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas partes para os gases argônio e hélio. Primeiro, precisamos de algumas propriedades dos gases:
Para o hélio:
- Massa molecular ($ M $) = 4 g/mol,
- Capacidade calorífica a volume constante ($ C_v $) ≈ $ \frac{3}{2} R $, onde $ R $ é a constante dos gases ($ R ≈ 8,314 , J/mol·K $),
- Diâmetro molecular ($ d $) ≈ 0,28 nm.
Para o argônio:
- Massa molecular ($ M $) = 40 g/mol,
- Capacidade calorífica a volume constante ($ C_v $) ≈ $ \frac{5}{2} R $,
- Diâmetro molecular ($ d $) ≈ 0,34 nm.
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade média ($ \overline{v} $) das moléculas, que pode ser dada por:
Onde:
- $ k_B $ é a constante de Boltzmann ($ 1,381 \times 10^{-23} , J/K $),
- $ T $ é a temperatura (300 K),
- $ m $ é a massa de uma molécula do gás.
Para encontrar $ m
N_A \approx 6,022 \times 10^{23} , mol^{-1} $):
Vamos calcular para cada gás:
Hélio:
Argônio:
Passo 5
Agora, vamos calcular o comprimento livre médio ($ \lambda $), que é a distância média que uma molécula viaja antes de colidir com outra molécula. A fórmula é:
Onde:
- $ P $ é a pressão (1,0 mbar = $ 100 , Pa $),
- $ d $ é o diâmetro molecular.
Vamos calcular para cada gás:
Hélio:
Argônio:
Passo 6
Agora que temos $ C_v $, $ \overline{v} $ e $ \lambda
k $) para cada gás usando a fórmula inicial:
Primeiro, calculamos $ C_v $:
Hélio:
Argônio:
Agora, substituímos na fórmula de $ k $:
Hélio:
Argônio:
Passo 7
Agora que temos a condutividade térmica de cada gás, vamos calcular a taxa de fluxo de energia térmica usando a Lei de Fourier:
Onde:
- $ \dot{Q} $ é a taxa de fluxo de energia,
- $ k $ é a condutividade térmica,
- $ A $ é a área da face do vaso,
- $ \Delta T $ é a diferença de temperatura,
- $ L $ é a distância entre as faces.
Vamos remover o sinal negativo, já que estamos interessados apenas na magnitude do fluxo.
Dados:
- $ A = (0,10 , m)^2 = 0,01 , m^2 $,
- $ \Delta T = 310 , K - 295 , K = 15 , K $,
- $ L = 0,10 , m $.
Vamos calcular para cada gás:
Hélio:
Argônio:
Resposta
(a) A condutividade térmica a 300 K e 1,0 mbar é aproximadamente 0,0568 W/m·K para o hélio e 0,0189 W/m·K para o argônio.
(b) A taxa de fluxo de energia térmica é de aproximadamente 0,085 W para o hélio e 0,028 W para o argônio.