Calcule a pressão de entrada necessária para manter a vazão de
no escoamento do nitrogênio a 300 K através de um tubo de
de comprimento e diâmetro de 15 mm. A pressão de saída do gás é de 1,00 bar. O volume do gás foi medido nessa pressão.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a pressão de entrada necessária para manter uma vazão de
no escoamento de nitrogênio a 300 K através de um tubo com 10,5 metros de comprimento e 15 mm de diâmetro. Sabemos também que a pressão de saída do gás é de 1,00 bar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, mais especificamente a Lei de Darcy-Weisbach, que relaciona a perda de carga (diferença de pressão) com o fluxo através de um tubo.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos:
- Vazão $ Q = 8,70 , \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s} = 8,70 \times 10^{-6} , \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} $
- Diâmetro $ D = 15 , \mathrm{mm} = 0,015 , \mathrm{m} $
- Pressão de saída $ P_2 = 1,00 , \mathrm{bar} = 10^{5} , \mathrm{Pa} $
Passo 3
Vamos usar a equação de Darcy-Weisbach para calcular a perda de carga ($ \Delta P $):
Onde:
- $ f $ é o fator de atrito
- $ L $ é o comprimento do tubo
- $ D $ é o diâmetro do tubo
- $ \rho $ é a densidade do gás
- $ v $ é a velocidade do fluxo
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade do fluxo $ v $. A velocidade está relacionada à vazão pela fórmula:
Onde $ A $ é a área da seção transversal do tubo. Calculando $ A $:
Então, a velocidade $ v $ é:
Passo 4
Agora, precisamos determinar a densidade do nitrogênio ($ \rho $) a $ 300 , \mathrm{K} $. Usamos a equação dos gases ideais:
Onde:
- $ P $ é a pressão média
- $ R $ é a constante específica do gás
- $ T $ é a temperatura
Para o nitrogênio, $ R = 296,8 , \mathrm{J/(kg \cdot K)} $. A pressão média $ P $ pode ser aproximada pela média entre a pressão de entrada $ P_1 $ e a pressão de saída $ P_2 $. Mas como precisamos de $ P_1 $, simplificamos assumindo que a variação de pressão não altera muito a densidade, então usamos $ P_2 $:
Passo 5
Agora, precisamos do fator de atrito $ f
Re < 2300 $), usamos:
Primeiro, calculamos o número de Reynolds ($ Re $):
Assumindo que a viscosidade dinâmica ($ \mu $) do nitrogênio a $ 300 , \mathrm{K} $ é aproximadamente $ 1,76 \times 10^{-5} , \mathrm{Pa \cdot s} $:
Então,
Passo 6
Agora, aplicamos todos os valores na equação de Darcy-Weisbach para encontrar $ \Delta P $:
Calculando passo a passo:
Resposta
A pressão de entrada necessária para manter a vazão é de aproximadamente 1,29 Pa acima da pressão de saída de 1,00 bar. Portanto, $ P_1 \approx 1,00 , \mathrm{bar} + 1,29 , \mathrm{Pa} $.