Calcule o conjunto Im agem de f(Im(f)), verifique se Im(f) subset D(g) e em caso afirmativo, calcule ( g o f ).
g(x)=sen(x), f(x)=arcsen(x)

Passo 1

O enunciado pede para acharmos a imagem da função f(x)=arcsin(x), verificar se esse conjunto está contido no domínio de g(x)=sin(x) e, se sim, calcular a composição gcirc f. Vamos usar teoria de funções elementares: definição de imagem (conjunto-valor), domínio de g e regra de composição.

Passo 2

A função f(x)=arcsin(x) tem domínio [-1,1] e sua imagem (alcance) é o intervalo de valores que arcsin produz. Pela definição de arco-seno,
Im(f)=l[-tfracpi2,tfracpi2r]

Passo 3

A função g(x)=sin(x) aceita qualquer número real como entrada, ou seja,
D(g)=R
Como Im(f)=[-tfracpi2,tfracpi2]subsetR, está garantido que podemos compor g com f.

Passo 4

Para a composição, aplicamos f e em seguida g:
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=sinl(arcsin(x)r)
Pela propriedade inversa de seno e arco-seno, obtemos
(gcirc f)(x)=x,

Passo 5

válido para todo x no domínio de f, ou seja [-1,1].

Resposta

Im(f)=[-tfracpi2,tfracpi2]. Como esse intervalo está contido em D(g)=R, a composição existe e é (gcirc f)(x)=x para todo xin[-1,1].

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