Calcule f^prime(x) usando as regras de derivação.
f(x)=1+xx ln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de (x)=\frac{1+x}{x\ln x} ; o conteúdo aqui é aplicação da regra do quociente de derivadas, e vamos precisar também da derivada de um produto (para derivar x\ln x ).

Passo 2

Definimos u(x)=1+x e v(x)=x\ln x. Assim u’(x)=1 e, usando a regra do produto, v’(x)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x +1.

Passo 3

A regra do quociente diz que
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Substituindo u, v e suas derivadas, o numerador fica
1cdot(xln x)-(1+x)(ln x+1)=xln x-(ln x +xln x +1+x)=-ln x -x-1
O denominador é
[xln x]^2=x^2(ln x)^2
Portanto, juntando tudo,
f’(x)=\frac{-\bigl(\ln x + x +1\bigr)}{x^2(\ln x)^2}.

Passo 4

Potencialmente podemos escrever com menos sinal na frente: f’(x)=-\frac{\ln x + x +1}{x^2(\ln x)^2}.
Essa é a derivada pedida.

Resposta

f’(x)=-\frac{\ln x + x +1}{x^2(\ln x)^2}

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