Calcule
usando as regras de derivação.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de (x)=\frac{1+x}{x\ln x}; o conteúdo aqui é aplicação da regra do quociente de derivadas, e vamos precisar também da derivada de um produto (para derivar x\ln x).
Passo 2
Definimos u(x)=1+x e v(x)=x\ln x. Assim u’(x)=1 e, usando a regra do produto, v’(x)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x +1.
Passo 3
A regra do quociente diz que
Substituindo u, v e suas derivadas, o numerador fica
O denominador é
Portanto, juntando tudo,
f’(x)=\frac{-\bigl(\ln x + x +1\bigr)}{x^2(\ln x)^2}.
f’(x)=\frac{-\bigl(\ln x + x +1\bigr)}{x^2(\ln x)^2}.
Passo 4
Potencialmente podemos escrever com menos sinal na frente: f’(x)=-\frac{\ln x + x +1}{x^2(\ln x)^2}.
Essa é a derivada pedida.
Essa é a derivada pedida.
Resposta
f’(x)=-\frac{\ln x + x +1}{x^2(\ln x)^2}