Calcule f^prime(x) usando as regras de derivação.
f(x)=23 x+raizx

Passo 1

O enunciado pede pra derivar a função f(x)=23x+raizx. O conteúdo envolvido é derivação de soma de funções, usando a regra da linearidade e a regra do poder (power rule).

Passo 2

Como a derivada de uma soma é a soma das derivadas, escrevemos
f'(x)=ddxl(tfrac23xr)+ddxl(raizxr)

Passo 3

Para o primeiro termo tfrac23x, aplicamos a regra do fator constante. Como ddx(x)=1, temos
ddxl(tfrac23xr)=tfrac23cdot1=tfrac23

Passo 4

Para o segundo termo raizx=x^1/2, usamos a regra do poder: se g(x)=x^n, então g'(x)=n x^n-1. Aqui n=tfrac12, logo
ddx(x^1/2)=tfrac12 x^1/2-1=tfrac12 x^-1/2=12raizx

Passo 5

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x)=tfrac23+12raizx

Resposta

f’(x)=\frac{2}{3}+\frac{1}{2\sqrt{x}}

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