Calcule o conjunto imagem das seguintes funções. Aqui, D denota o domínio da função.
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Passo 1
Temos quatro funções e queremos determinar o conjunto imagem de cada uma. O conteúdo envolve definições de imagem de função, continuidade, monotonicidade e propriedades do seno.
Passo 2
Para f(x)=−2x+1 com D=ℝ, note que é uma função linear com coeficiente angular a=−2≠0. Para qualquer y∈ℝ basta resolver y=−2x+1, dando x=(1−y)/2∈ℝ. Logo f é sobrejetora em ℝ e Im(f)=ℝ.
Passo 3
Para f(x)=sen(x)/3 com D=ℝ, usamos que sen(x) tem imagem [−1,1]. Dividindo por 3 preserva o tipo de intervalo, ficando Im(f)=[−1/3,1/3].
Passo 4
Para f(x)=−2x+1 com D=(−1,1), a função é contínua e estritamente decrescente (a=−2<0). Quando x→−1+ temos f(x)→3 e quando x→1− temos f(x)→−1, mas como −1 e 1 não fazem parte do domínio, os extremos não são atingidos. Assim Im(f)=(−1,3).
Passo 5
Para f(x)=sen(x) com D=[−π/2,π/2], sabemos que sen(x) é contínua e estritamente crescente nesse intervalo e atinge sen(−π/2)=−1 e sen(π/2)=1. Logo Im(f)=[−1,1].
Resposta
- Im(f)=ℝ
- Im(f)=[−1/3,1/3]
- Im(f)=(−1,3)
- Im(f)=[−1,1]