Calcule o conjunto imagem das seguintes funções. Aqui, D denota o domínio da função.
  1. f(x)=-2 x+1
    D=R
  2. f(x)=sen(x) / 3 D=R
  3. f(x)=-2 x+1
    D=(-1,1)
  4. f(x)=sen(x) D=[-pi2, pi2]

Passo 1

Temos quatro funções e queremos determinar o conjunto imagem de cada uma. O conteúdo envolve definições de imagem de função, continuidade, monotonicidade e propriedades do seno.

Passo 2

Para f(x)=−2x+1 com D=ℝ, note que é uma função linear com coeficiente angular a=−2≠0. Para qualquer y∈ℝ basta resolver y=−2x+1, dando x=(1−y)/2∈ℝ. Logo f é sobrejetora em ℝ e Im(f)=ℝ.

Passo 3

Para f(x)=sen(x)/3 com D=ℝ, usamos que sen(x) tem imagem [−1,1]. Dividindo por 3 preserva o tipo de intervalo, ficando Im(f)=[−1/3,1/3].

Passo 4

Para f(x)=−2x+1 com D=(−1,1), a função é contínua e estritamente decrescente (a=−2<0). Quando x→−1+ temos f(x)→3 e quando x→1− temos f(x)→−1, mas como −1 e 1 não fazem parte do domínio, os extremos não são atingidos. Assim Im(f)=(−1,3).

Passo 5

Para f(x)=sen(x) com D=[−π/2,π/2], sabemos que sen(x) é contínua e estritamente crescente nesse intervalo e atinge sen(−π/2)=−1 e sen(π/2)=1. Logo Im(f)=[−1,1].

Resposta

  1. Im(f)=ℝ
  2. Im(f)=[−1/3,1/3]
  3. Im(f)=(−1,3)
  4. Im(f)=[−1,1]

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