(3,0 pontos) Resolva a EDO
(x+y) d x+x d y=0, y=y(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
(x + y) , dx + x , dy = 0, y = y(x)
Isso quer dizer que queremos encontrar uma função $ y(x) $ que satisfaça essa equação. Para resolver, vamos usar o método das equações exatas, então precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução.

Passo 2

Vamos identificar os componentes da equação:
M(x, y) = x + y e N(x, y) = x
Aqui, $ M $ é o coeficiente de $ dx $ e $ N $ é o coeficiente de $ dy $.

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $:
M
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação é exata. Isso significa que existe uma função $ F(x, y) $ tal que:
y

Passo 4

Vamos encontrar a função $ F(x, y) $ integrando $ M $ em relação a $ x $:
F(x, y)
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende só de $ y $, já que a integração foi feita em relação a $ x $.

Passo 5

Agora, vamos derivar $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ N $ para encontrar $ h(y) $:
F(x, y)
Isso nos dá:
y
Integrando, encontramos que $ h(y) $ é uma constante:
N

Passo 6

Portanto, a função $ F(x, y) $ fica:
F(x, y)
Para expressar a solução da EDO, igualamos $ F(x, y) $ a uma constante:
F(x, y) = 12x^2 + yx + C
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
F(x, y)
Podemos renomear $ 2C $ como uma nova constante $ K $, então a solução geral fica:
12x^2 + yx = C

Resposta

A solução geral da EDO é:
x^2 + 2xy = C
onde $ C $ é uma constante.

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