(3,0 pontos) Resolva a EDO
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
Isso quer dizer que queremos encontrar uma função $ y(x) $ que satisfaça essa equação. Para resolver, vamos usar o método das equações exatas, então precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução.
Passo 2
Vamos identificar os componentes da equação:
Aqui, $ M $ é o coeficiente de $ dx $ e $ N $ é o coeficiente de $ dy $.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação é exata. Isso significa que existe uma função $ F(x, y) $ tal que:
Passo 4
Vamos encontrar a função $ F(x, y) $ integrando $ M $ em relação a $ x $:
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende só de $ y $, já que a integração foi feita em relação a $ x $.
Passo 5
Agora, vamos derivar $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ N $ para encontrar $ h(y) $:
Isso nos dá:
Integrando, encontramos que $ h(y) $ é uma constante:
Passo 6
Portanto, a função $ F(x, y) $ fica:
Para expressar a solução da EDO, igualamos $ F(x, y) $ a uma constante:
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Podemos renomear $ 2C $ como uma nova constante $ K $, então a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde $ C $ é uma constante.