calcule:
Considere a superficie S=(x, y, z) in R^3, z=raizx^2+y^2 ; 1 <= z <= 3. Calcule:
integralS integral rot(G) cdot d s
onde G(x, y, z)=(y z,-x z, z^3).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo da rotação do campo G(x,y,z)=(y z,,-x z,,z^3) através da superfície lateral do cone
S=(x,y,z)inR^3mid z=raizx^2+y^2,;1<= z<=3
O conteúdo utilizado será: cálculo de nablatimes G, parametrização de S em coordenadas cilíndricas e integração do produto escalar (nablatimes G)cdot d S.

Passo 2

Calculemos primeiro a rotação de G:
nablatimes G =l(tfracpartialpartial y(z^3)-tfracpartialpartial z(-x z),; tfracpartialpartial z(y z)-tfracpartialpartial x(z^3),; tfracpartialpartial x(-x z)-tfracpartialpartial y(y z)r)
Isso dá
nablatimes G=(x,;y,;-2z)

Passo 3

Parametrizamos S em coordenadas cilíndricas via
R(r,theta)=(rcostheta,;rsintheta,;r), 1<= r<=3,;0<=theta<=2pi
Temos
Rr=(costheta,sintheta,1) e
Rtheta=(-rsintheta,;rcostheta,;0).
O vetor de área é
d S = Rrtimes Rtheta,dr,dtheta =(-rcostheta,,-rsintheta,;r),dr,dtheta

Passo 4

No parâmetro, x=rcostheta, y=rsintheta, z=r. Logo
(nablatimes G)l( R(r,theta)r) =(rcostheta,;rsintheta,;-2r),
e o produto escalar fica
(nablatimes G)cdot d S =(rcostheta)(-rcostheta)+(rsintheta)(-rsintheta)+(-2r)(r) =-r^2-2r^2=-3r^2

Passo 5

Integramos em (r,theta):
integral duplaS(nablatimes G)cdot d S =integral0^2pi!integral1^3(-3r^2),dr,dtheta =-3l(integral1^3r^2drr)l(integral0^2pidthetar) =-3cdot3^3-1^33cdot2pi =-52pi

Resposta

-52pi

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