Calcule o fluxo do campo vetorial G(x, y, z) através da superfície S no sentido dado:
G(x, y, z)=(x, y, z) onde a normal unitaria apontando para cima da superfície z=9-x^2-y^2, 0 <= z.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
G(x,y,z) = (x,y,z)
através da superfície S definida por
z = 9 - x^2 - y^2, z>=0
com a normal unitária apontando para cima.
Este é um problema de integral de superfície (fluxo de segunda espécie) de um gráfico z=f(x,y). Vamos usar a fórmula
integral duplaSGcdothat n,dS =integral duplaDl[-P,fx - Q,fy + Rr],dA,
onde G=(P,Q,R) e D é o domínio no plano xy.

Passo 2

Identificamos
f(x,y)=9 - x^2 - y^2, P=x,;Q=y,;R=z=9 - x^2 - y^2
Calculamos as derivadas parciais
fx = -2x, fy = -2y
Logo o integrando fica
-,P,fx - Q,fy + R = -,x(-2x) - y(-2y) + (9 - x^2 - y^2) = 2x^2 + 2y^2 + 9 - x^2 - y^2 = x^2 + y^2 + 9
O domínio D é o disco x^2+y^2<=9.

Passo 3

Passamos a coordenadas polares:
x = rcostheta,; y = rsintheta,; dA = r,dr,dtheta, ; 0<= r<=3,; 0<=theta<=2pi
A integral vira
integral duplaD(x^2+y^2+9),dA =integral0^2pi!integral0^3(r^2+9),r,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos a integral em r:
integral0^3(r^3 + 9r),dr =l[r^44 + 9r^22r]0^3 =3^44 + 9cdot3^22 =814 + 812 =2434
Depois em theta:
integral0^2pi2434,dtheta =2picdot2434 =243pi2

Resposta

O fluxo de G através de S com a normal apontando para cima é
243pi2

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