calcule:
ointC x d x+(x+y) d y+(x+y+z) d z onde C é a curva obtida como interseção do plano z+y=2 com o cilindro x^2+y^2=1

Passo 1

O enunciado nos pede o integral de linha fechado
ointC x,dx + (x+y),dy + (x+y+z),dz
onde C é a curva de interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano y+z=2.
O conteúdo aqui é usar o Teorema de Stokes, que transforma o integral de linha de um campo vetorial F=(P,Q,R) sobre C=partial S num integral de superfície de nablatimesF sobre uma superfície S qualquer com fronteira C.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z) = l(P,Q,Rr) = l(x,;x+y,;x+y+zr)
Calculamos o rotacional nablatimesF:
nablatimesF = partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial y = l(1-0,;0-1,;1-0r) =(1,,-1,,1)

Passo 3

Escolhemos como superfície S o disco projetado no plano y+z=2 limitado por x^2+y^2<=1.
Uma normal não unitária ao plano é m=(0,1,1), então a normal unitária com componente z positiva (para dar orientação anti-horária à projeção em xy) é
n=1raiz2,(0,1,1)
Pelo Teorema de Stokes:
ointCFcdot dr =integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS

Passo 4

Calculamos o produto escalar
(nablatimesF)cdotn =(1,,-1,,1)cdot1raiz2(0,1,1) =-1+1raiz2=0
Como o integrando é zero em todo S, o integral de superfície é zero e, portanto, o integral de linha também é zero.

Resposta

0

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