calcule:
onde
é a curva obtida como interseção do plano
com o cilindro
Passo 1
O enunciado nos pede o integral de linha fechado
onde
é a curva de interseção do cilindro
com o plano
.
O conteúdo aqui é usar o Teorema de Stokes, que transforma o integral de linha de um campo vetorial sobre
num integral de superfície de
sobre uma superfície
qualquer com fronteira
.
O conteúdo aqui é usar o Teorema de Stokes, que transforma o integral de linha de um campo vetorial
Passo 2
Definimos
Calculamos o rotacional
:
Passo 3
Escolhemos como superfície
o disco projetado no plano
limitado por
.
Uma normal não unitária ao plano é , então a normal unitária com componente
positiva (para dar orientação anti-horária à projeção em
) é
Uma normal não unitária ao plano é
Pelo Teorema de Stokes:
Passo 4
Calculamos o produto escalar
Como o integrando é zero em todo
, o integral de superfície é zero e, portanto, o integral de linha também é zero.