Seja W o sólido limitado por x^2+y^2=4, z=0 e z=3. Calcule o fluxo de G(x, y, z)=(y^2, x, z x) atraves da superficie S=partial W, com campo de vetores normais exterior a S , se:

Passo 1

O enunciado dá o corpo
W = (x,y,z)mid x^2+y^2<=4, 0<= z<=3,
cuja fronteira partial W é formada pela “lateral” cilíndrica x^2+y^2=4, 0<= z<=3 mais o disco superior z=3, x^2+y^2<=4 e o disco inferior z=0, x^2+y^2<=4. Precisamos do fluxo
integral duplapartial WGcdot n,dS
com G(x,y,z)=(y^2,,x,,z,x) e n apontando para fora de W. Vamos aplicar o Teorema da Divergência.

Passo 2

O Teorema da Divergência diz que
integral duplapartial WGcdot n,dS =integral triplaWl(nablacdot Gr),dV
Então basta calcular nablacdot G e integrar sobre W.

Passo 3

Calculemos a divergência de G:
nablacdot G =partialpartial x(y^2) +partialpartial y(x) +partialpartial z(z,x) =0+0+x =x

Passo 4

Precisamos avaliar
integral triplaWx,dV
Como W é simétrico em x (para cada ponto (x,y,z) há o ponto (-x,y,z)), o integrando x dá soma nula. Formalmente, em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) onde x=rcostheta, teríamos
integral triplaWx,dV =integralz=0^3integralr=0^2integraltheta=0^2pi(rcostheta),r,dtheta,dr,dz =integral0^3integral0^2l(r^2integral0^2picostheta,dthetar)dr,dz =0,
pois integral0^2picostheta,dtheta=0.

Resposta

O fluxo de G através de partial W é
boxed0

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