1. Calcule a constante do produto de solubilidade \left(\mathrm{K}_{\mathrm{ps}}\right) do \mathrm{Cu}(\mathrm{OH})_{2}, sabendo que:
\begin{array}{ll} \mathrm{Cu}(\mathrm{OH})_{2}+2 \mathrm{e}^{-} \rightleftharpoons \mathrm{Cu}+2 \mathrm{OH}^{-} & \mathrm{E}^{\circ}=-0,224 \mathrm{~V} \\\ \mathrm{Cu}^{+2}+2 \mathrm{e}^{-} \rightleftharpoons \mathrm{Cu} & \mathrm{E}^{\circ}=+0,337 \mathrm{~V} \end{array}
Resposta: 1,1 \times 10^{-19}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a constante do produto de solubilidade \mathrm{K}_{\mathrm{ps}} do \mathrm{Cu(OH)}_{2}, ou seja o valor de
\mathrm{K}_{\mathrm{ps}} = [\mathrm{Cu}^{2+}][\mathrm{OH}^{-}]^{2}.
Informações dadas no enunciado:
\begin{array}{ll} \mathrm{Cu(OH)}_{2}(s) + 2\,\mathrm{e}^{-} \rightleftharpoons \mathrm{Cu}(s) + 2\,\mathrm{OH}^{-} & \mathrm{E}^{\circ} = -0{,}224\\ \mathrm{V} \\\ \mathrm{Cu}^{2+} + 2\,\mathrm{e}^{-} \rightleftharpoons \mathrm{Cu}(s) & \mathrm{E}^{\circ} = +0{,}337\\ \mathrm{V} \end{array}
Não foi fornecida temperatura, então vou usar a temperatura padrão 25^\circ\mathrm{C}, isto é T = 298{,}15\\ \mathrm{K}. Vou também usar as constantes físicas padrão: constante de Faraday F = 96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}} e constante dos gases R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

Passo 2

Identificar a meia-reação correspondente à precipitação/dissolução que relaciona \mathrm{Cu}^{2+} e \mathrm{Cu(OH)}_{2}.
As duas meias-reações dadas são:
\text{(A)}\quad \mathrm{Cu(OH)}_{2}(s) + 2\,\mathrm{e}^{-} \rightarrow \mathrm{Cu}(s) + 2\,\mathrm{OH}^{-},\quad E_{1}^{\circ} = -0{,}224\\ \mathrm{V}
\text{(B)}\quad \mathrm{Cu}^{2+} + 2\,\mathrm{e}^{-} \rightarrow \mathrm{Cu}(s),\quad E_{2}^{\circ} = +0{,}337\\ \mathrm{V}
Se invertermos (A) e somarmos com (B) de modo que os elétrons cancelem, obtemos a reação de precipitação:
\mathrm{Cu}^{2+} + 2\,\mathrm{OH}^{-} \rightarrow \mathrm{Cu(OH)}_{2}(s).
Para uma célula formada por essas duas semi-reações, o potencial padrão da célula é
E_{\mathrm{cel}}^{\circ} = E_{\mathrm{cat}}^{\circ} - E_{\mathrm{an}}^{\circ}.
Escolhemos como catodo a meia-reação com maior potencial de redução (B, E_{2}^{\circ}=+0{,}337\\ \mathrm{V}) e como ânodo a outra (A, E_{1}^{\circ}=-0{,}224\\ \mathrm{V}). Portanto:
E_{\mathrm{cel}}^{\circ} = 0{,}337 - (-0{,}224) = 0{,}561\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Religar termodinâmica e constante de equilíbrio.
Para a reação de precipitação
\mathrm{Cu}^{2+} + 2\,\mathrm{OH}^{-} \rightleftharpoons \mathrm{Cu(OH)}_{2}(s)
o número de elétrons transferidos é n = 2.
A relação entre energia livre padrão e potencial padrão da célula é
\Delta G^{\circ} = -n F E_{\mathrm{cel}}^{\circ}.
A relação entre energia livre padrão e constante de equilíbrio K (para a reação de precipitação) é
\Delta G^{\circ} = -R T \ln K_{\text{precip}}.
Igualando as duas expressões:
-n F E_{\mathrm{cel}}^{\circ} = -R T \ln K_{\text{precip}}
portanto
\ln K_{\text{precip}} = \frac{n F E_{\mathrm{cel}}^{\circ}}{R T}.
Mas a constante que queremos é \mathrm{K}_{\mathrm{ps}}, que é a constante do processo de dissolução
\mathrm{Cu(OH)}_{2}(s) \rightleftharpoons \mathrm{Cu}^{2+} + 2\,\mathrm{OH}^{-},
e claramente K_{\text{precip}} = 1 / \mathrm{K}_{\mathrm{ps}}. Assim:
\mathrm{K}_{\mathrm{ps}} = \frac{1}{K_{\text{precip}}} = \exp\!\Big(-\frac{n F E_{\mathrm{cel}}^{\circ}}{R T}\Big).
Resumo da fórmula que vamos usar:
\boxed{\mathrm{K}_{\mathrm{ps}} = \exp\!\Big(-\dfrac{n F E_{\mathrm{cel}}^{\circ}}{R T}\Big).}
Onde:
  • n = 2 (elétrons trocados),
  • F = 96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}},
  • E_{\mathrm{cel}}^{\circ} = 0{,}561\\ \mathrm{V},
  • R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},
  • T = 298{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Substituir números e calcular passo a passo.
Primeiro calcule o produto n F E_{\mathrm{cel}}^{\circ}:
n F E_{\mathrm{cel}}^{\circ} = 2 \times 96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}} \times 0{,}561\\ \mathrm{V}.
Lembre que 1\\ \mathrm{V}\cdot\mathrm{C} = 1\\ \mathrm{J}, então o resultado está em \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Calcule numericamente:
2 \times 96485 = 192970,
192970 \times 0{,}561 = 108256{,}17\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Agora calcule R T:
R T = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} \times 298{,}15\\ \mathrm{K} = 2478{,}959\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} \\ (\text{aprox.}).
Calcule o quociente que vai no expoente:
\frac{n F E_{\mathrm{cel}}^{\circ}}{R T} = \frac{108256{,}17}{2478{,}959} \approx 43{,}67.
Portanto
\mathrm{K}_{\mathrm{ps}} = \exp(-43{,}67).

Passo 5

Converter o valor para notação científica e arredondar.
Usando a relação \log_{10}(\mathrm{K}_{\mathrm{ps}}) = \dfrac{\ln(\mathrm{K}_{\mathrm{ps}})}{\ln 10} = -\dfrac{43{,}67}{2{,}302585} \approx -18{,}98, obtemos
\mathrm{K}_{\mathrm{ps}} \approx 10^{-18{,}98} \approx 1{,}05 \times 10^{-19}.
Arredondando com duas casas significativas (e em conformidade com a resposta fornecida), fica:
\mathrm{K}_{\mathrm{ps}} \approx 1{,}1 \times 10^{-19}.

Resposta

1,1 \times 10^{-19}

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