Calcule (sem consultar uma tabela), sendo
constante, a transformada de Laplace de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função $ f(t) $ que é igual a 1 entre $ t = 0 $ e $ t = 1 $, e zero depois disso. Então, estamos trabalhando com o conteúdo de Transformada de Laplace, e vamos precisar entender como aplicar a definição dessa transformada para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo $ f(t) $ em uma função no domínio da frequência $ F(s) $. A definição matemática é:
No nosso caso, $ f(t) $ é uma função que vale 1 de 0 a 1 e 0 após 1. Então, podemos escrever essa função de forma mais simples para a integração:
Passo 3
Com essa definição, a integral para a transformada de Laplace vai de 0 a 1, porque após $ t = 1 $, a função é zero e não contribui para a integral. Então, a nossa transformada fica:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos integrar $ e^{-st} $ em relação a $ t $. A antiderivada de $ e^{-st} $ é:
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos avaliar a integral definida.
Passo 5
Aplicando os limites de integração de 0 a 1, temos:
Simplificando:
Como $ e^{0} = 1 $, fica:
Resposta
A transformada de Laplace da função $ f(t) $ é: