Calcule (sem consultar uma tabela), sendo a constante, a transformada de Laplace de:
f(t)= 1, & 01

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função $ f(t) $ que é igual a 1 entre $ t = 0 $ e $ t = 1 $, e zero depois disso. Então, estamos trabalhando com o conteúdo de Transformada de Laplace, e vamos precisar entender como aplicar a definição dessa transformada para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo $ f(t) $ em uma função no domínio da frequência $ F(s) $. A definição matemática é:
f(t)
No nosso caso, $ f(t) $ é uma função que vale 1 de 0 a 1 e 0 após 1. Então, podemos escrever essa função de forma mais simples para a integração:
F(s)

Passo 3

Com essa definição, a integral para a transformada de Laplace vai de 0 a 1, porque após $ t = 1 $, a função é zero e não contribui para a integral. Então, a nossa transformada fica:
t = 1
Isso simplifica para:
Lf(t) = integral0^1 e^-st cdot 1 , dt

Passo 4

Agora, vamos integrar $ e^{-st} $ em relação a $ t $. A antiderivada de $ e^{-st} $ é:
e^-st
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos avaliar a integral definida.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a 1, temos:
Lf(t) = [ -1s e^-st ]0^1 = -1s e^-s cdot 1 - ( -1s e^-s cdot 0 )
Simplificando:
Lf(t) = -1s e^-s + 1s e^0
Como $ e^{0} = 1 $, fica:
e^0 = 1

Resposta

A transformada de Laplace da função $ f(t) $ é:
f(t)

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