Encontre a solução geral da EDO exata de 1́a ordem:
(e^2 y-y cos (t y)) d t+(2 t e^2 y-t cos (t y)+2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de 1ª ordem exata
a gente vai usar o conceito de equação exata, checar exatidão e achar
a função potencial F(t,y) tal que dF = M(t,y) dt + N(t,y) dy.

Passo 2

Identificamos M(t,y) = e^{2y} - y,\cos(t y) e N(t,y) = 2 t e^{2y} - t,\cos(t y) + 2y.
Calculamos as derivadas parciais:
Derivada de M em relação a y:
My = 2e^2y - cos(t y) + t ysin(t y)
Derivada de N em relação a t:
Nt = 2e^2y - cos(t y) + t ysin(t y)
Como M_y = N_t, a EDO é exata.

Passo 3

Agora integramos M(t,y) em relação a t para achar a função F(t,y):
F(t,y) = integral (e^2y - y,cos(t y)),dt = t e^2y - integral y,cos(t y),dt + h(y)
Como y é constante no integral, temos integral ycos(t y),dt = sin(t y).
Logo:
F(t,y) = t e^2y - sin(t y) + h(y)

Passo 4

Para determinar h(y), derivamos F em relação a y e igualamos a N(t,y):
Fy = 2t e^2y - t,cos(t y) + h'(y) = N(t,y) = 2t e^2y - t,cos(t y) + 2y
Daí h’(y)=2y, integrando: h(y)=y^2.

Passo 5

A solução geral está dada implicitamente por F(t,y)=C. Substituindo F(t,y):

Resposta

t e^2y - sin(t y) + y^2 = C

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