Encontre a solução geral da EDO exata de 1́a ordem:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO de 1ª ordem exata
a gente vai usar o conceito de equação exata, checar exatidão e achar
a função potencial F(t,y) tal que dF = M(t,y) dt + N(t,y) dy.
a gente vai usar o conceito de equação exata, checar exatidão e achar
a função potencial F(t,y) tal que dF = M(t,y) dt + N(t,y) dy.
Passo 2
Identificamos M(t,y) = e^{2y} - y,\cos(t y) e N(t,y) = 2 t e^{2y} - t,\cos(t y) + 2y.
Calculamos as derivadas parciais:
Calculamos as derivadas parciais:
Derivada de M em relação a y:
Derivada de N em relação a t:
Como M_y = N_t, a EDO é exata.
Passo 3
Agora integramos M(t,y) em relação a t para achar a função F(t,y):
Como y é constante no integral, temos
.
Logo:
Logo:
Passo 4
Para determinar h(y), derivamos F em relação a y e igualamos a N(t,y):
Daí h’(y)=2y, integrando: h(y)=y^2.
Passo 5
A solução geral está dada implicitamente por F(t,y)=C. Substituindo F(t,y):