Calcule (sem consultar uma tabela), sendo
constante, a transformada de Laplace de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função $ f(t) = \cosh(a t) $, onde $ a $ é uma constante. Isso faz parte do conteúdo de transformadas de Laplace, que ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades das funções hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, lembra como é a definição da transformada de Laplace? Ela é dada por:
Aqui, $ s $ é uma variável complexa. Vamos aplicar isso à nossa função $ f(t) = \cosh(a t) $.
Passo 3
Agora, precisamos saber o que é $ \cosh(a t) $. A função cosseno hiperbólico é definida por:
Substituindo isso na definição da transformada de Laplace, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, temos duas integrais mais simples para resolver.
Passo 5
Vamos resolver a primeira integral:
Para a integral convergir, precisamos que $ s > a $. Integrando, temos:
Passo 6
Agora, a segunda integral:
Essa integral sempre converge porque $ a + s > 0 $. Integrando, obtemos:
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A transformada de Laplace de $ \cosh(a t) $ é: