Calcule (sem consultar uma tabela), sendo a constante, a transformada de Laplace de:
f(t)=cosh (a t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função $ f(t) = \cosh(a t) $, onde $ a $ é uma constante. Isso faz parte do conteúdo de transformadas de Laplace, que ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades das funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, lembra como é a definição da transformada de Laplace? Ela é dada por:
Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt
Aqui, $ s $ é uma variável complexa. Vamos aplicar isso à nossa função $ f(t) = \cosh(a t) $.

Passo 3

Agora, precisamos saber o que é $ \cosh(a t) $. A função cosseno hiperbólico é definida por:
cosh(a t)
Substituindo isso na definição da transformada de Laplace, temos:
cosh(a t) = e^a t + e^-a t2

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Lcosh(a t) = 12 integral0^infty ( e^(a - s) t + e^-(a + s) t ) , dt
Agora, temos duas integrais mais simples para resolver.

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral:
integral0^infty e^(a - s) t , dt
Para a integral convergir, precisamos que $ s > a $. Integrando, temos:
s > a

Passo 6

Agora, a segunda integral:
integral0^infty e^-(a + s) t , dt
Essa integral sempre converge porque $ a + s > 0 $. Integrando, obtemos:
a + s > 0

Passo 7

Agora, juntando tudo:
Lcosh(a t) = 12 ( 1s - a + 1s + a )

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
12 ( 1s - a + 1s + a ) = 12 ( (s + a) + (s - a)(s - a)(s + a) ) = 12 ( 2ss^2 - a^2 ) = ss^2 - a^2

Resposta

A transformada de Laplace de $ \cosh(a t) $ é:
cosh(a t)

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