Calcule (sem consultar uma tabela), sendo a constante, a transformada de Laplace de:
f(t)=t cos (a t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função f(t)=tcos(at). O conteúdo envolvido é a definição de transformada de Laplace e a propriedade de diferenciação em s, ou seja, Lt,f(t)=-ddsl[F(s)r], onde F(s)=Lf(t).

Passo 2

Para obter F1(s)=Lcos(at) sem consultar tabela, usamos a definição e a representação exponencial: coseno como combinação de exponenciais. Temos
Lcos(at)=integral0^inftye^-stcos(at),dt =12integral0^inftye^-stl(e^i a t+e^-i a tr),dt =12l(1s-i a+1s+i ar) =ss^2+a^2 = F1(s)

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de diferenciação em s:
Ltcos(at)=-ddsl[F1(s)r] = -ddsl(ss^2+a^2r)

Passo 4

Basta calcular a derivada:
ddsl(ss^2+a^2r) =(s^2+a^2)-2s^2(s^2+a^2)^2 =a^2-s^2(s^2+a^2)^2

Passo 5

Com o sinal negativo, o resultado final fica
$$\mathcal{L}{t\cos(at)} = \frac{s^2 - a2}{(s2 + a2)2}.
$$

Resposta

s^2 - a^2l(s^2 + a^2r)^2

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