Calcule (sem consultar uma tabela), sendo
constante, a transformada de Laplace de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função $ f(t) = \sinh(a t) $, onde $ a $ é uma constante. Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace e algumas propriedades das funções hiperbólicas. Bora passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo $ f(t) $ para o domínio da frequência $ F(s) $, usando a fórmula:
No nosso caso, $ f(t) = \sinh(a t) $. A função hiperbólica seno, $ \sinh $, é definida como:
Passo 3
Vamos substituir $ \sinh(a t) $ na fórmula da transformada de Laplace:
Podemos tirar o $ \frac{1}{2} $ de fora da integral:
Passo 4
Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Sabemos que:
Passo 5
Aplicando essa fórmula às duas integrais:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão:
Então:
Resposta
A transformada de Laplace de $ \sinh(a t) $ é: