Calcule (sem consultar uma tabela), sendo a constante, a transformada de Laplace de:
f(t)=senh(a t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função $ f(t) = \sinh(a t) $, onde $ a $ é uma constante. Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace e algumas propriedades das funções hiperbólicas. Bora passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo $ f(t) $ para o domínio da frequência $ F(s) $, usando a fórmula:
f(t)
No nosso caso, $ f(t) = \sinh(a t) $. A função hiperbólica seno, $ \sinh $, é definida como:
F(s)

Passo 3

Vamos substituir $ \sinh(a t) $ na fórmula da transformada de Laplace:
sinh(a t)
Podemos tirar o $ \frac{1}{2} $ de fora da integral:
Lsinh(a t) = integral0^infty e^-s t cdot e^a t - e^-a t2 , dt

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Lsinh(a t) = 12 ( integral0^infty e^(a - s) t , dt - integral0^infty e^-(a + s) t , dt )
Sabemos que:
integral0^infty e^k t , dt = 1-k se Re(k) < 0

Passo 5

Aplicando essa fórmula às duas integrais:
integral0^infty e^(a - s) t , dt = 1s - a e integral0^infty e^-(a + s) t , dt = 1a + s
Substituindo de volta na expressão:
Lsinh(a t) = 12 ( 1s - a - 1s + a )

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
1s - a - 1s + a = (s + a) - (s - a)(s - a)(s + a) = 2 as^2 - a^2
Então:
Lsinh(a t) = 12 cdot 2 as^2 - a^2 = as^2 - a^2

Resposta

A transformada de Laplace de $ \sinh(a t) $ é:
sinh(a t)

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