Calcule a convolução (f * g)(x) para cada uma das funções a seguir:
f(x)=ccx, & 0á e g(x)=cce^-x, & x>0 0, & caso contrário á
Dica: item a : Considere os intervalos (-infty, 0),(0,1),(1,2),(2,+infty).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução das funções f(x) e g(x), com
$$f(x)= f(x)=x,&000,&caso contrário á,\quad g(x)= á.
$$
O assunto é “convolução de funções de suporte limitado” e vamos precisar usar a definição integral de convolução e depois tratar casos conforme a sobreposição dos suportes.

Passo 2

A definição de convolução é
(f*g)(x)=integral-infty^inftyf(t),g(x-t),dt
Como f(t) só é não nula em 0 e g(x-t) só em x-t>0, ou seja t, o integrando é diferente de zero somente quando
0

Passo 3

Dessa forma, para cada x a integral se reduz a
(f*g)(x)=integralt=0^t=min(1,x)t,e^-(x-t),dt =e^-xintegral0^min(1,x)t,e^t,dt

Passo 4

Precisamos, então, do primitivo
integral t,e^t,dt=(t-1)e^t+C
Usaremos isso para avaliar integral0^at,e^t,dt=(a-1)e^a-(-1)e^0=(a-1)e^a+1.

Passo 5

Para 0 temos min(1,x)=x, logo
(f*g)(x)=e^-xl[(x-1)e^x+1r]=x-1+e^-x

Passo 6

Para x>1 temos min(1,x)=1, então
(f*g)(x)=e^-xl[(1-1)e^1+1r]=e^-x

Passo 7

Quando x<=0 não há sobreposição de suporte e, portanto,
(f*g)(x)=0

Resposta

(f*g)(x)= 0,&x<=0x-1+e^-x,&01

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