Encontre a função cuja transformada inversa é dada em cada um dos itens a seguir:
Passo 1
O enunciado pede a inversa da transformada de Fourier
, ou seja, encontrar
tal que
e portanto
Para isso vamos usar integração em contorno e o fato de que há um polo simples em
.
Passo 2
Primeiro, extraímos a constante fora da integral e escrevemos
Note que a única singularidade é um polo simples em
, bem sobre o eixo real.
Passo 3
Para
fechamos o contorno no semiplano superior (onde
decai no infinito) e desviamos por cima do polo em
. Pela regra do valor principal e meia volta, a integral vale
Assim,
Passo 4
Para
fechamos o contorno no semiplano inferior e desviamos por baixo do polo em
. A integral passa a valer
e daí
Passo 5
Juntando os dois casos, obtemos a forma por partes ou, de modo compacto, usando a função sinal (
):
Resposta
h(t)=
\quadou\quad h(t)=2e^{-it},\mathrm{sgn}(t).