Encontre a função cuja transformada inversa é dada em cada um dos itens a seguir:
H(omega)=4i(1+omega)

Passo 1

O enunciado pede a inversa da transformada de Fourier H(omega)=4i,(1+omega), ou seja, encontrar h(t) tal que
H(omega)=integral-infty^inftyh(t)e^-iomega t,dt
e portanto
h(t)=12piintegral-infty^inftyH(omega)e^iomega t,domega
Para isso vamos usar integração em contorno e o fato de que há um polo simples em omega=-1.

Passo 2

Primeiro, extraímos a constante fora da integral e escrevemos
h(t)=12piintegral-infty^infty4i(1+omega),e^iomega t,domega =42pi iintegral-infty^inftye^iomega tomega+1,domega =2pi iintegral-infty^inftye^iomega tomega+1,domega
Note que a única singularidade é um polo simples em omega=-1, bem sobre o eixo real.

Passo 3

Para t>0 fechamos o contorno no semiplano superior (onde e^iomega t decai no infinito) e desviamos por cima do polo em omega=-1. Pela regra do valor principal e meia volta, a integral vale
integral-infty^inftye^iomega tomega+1,domega=pi i,e^i(-1)t=pi i,e^-i t
Assim,
h(t)=2pi il(pi i e^-i tr)=2e^-i t, t>0

Passo 4

Para t<0 fechamos o contorno no semiplano inferior e desviamos por baixo do polo em omega=-1. A integral passa a valer
integral-infty^inftye^iomega tomega+1,domega=-pi i,e^-i t
e daí
h(t)=2pi il(-pi i e^-i tr)=-2e^-i t, t<0

Passo 5

Juntando os dois casos, obtemos a forma por partes ou, de modo compacto, usando a função sinal ( sgn(t)):
h(t)=2e^-i t,sgn(t)

Resposta

h(t)= 2e^-i t,&t>0,-2e^-i t,&t<0,\quadou\quad h(t)=2e^{-it},\mathrm{sgn}(t).

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