Determine os valores extremos de
na região descrita pela desigualdade.
Passo 1
Estamos buscando os extremos globais de uma função de duas variáveis em uma região fechada (o disco unidad��rio). O conteúdo envolve encontrar pontos críticos no interior via gradiente e depois estudar a fronteira usando uma parametrização circular.
Passo 2
A condição de interior vem de resolver
. Calculamos as derivadas parciais:
Igualando a zero:
Resolvendo o sistema obtemos
e
. Avaliando
. Para classificar esse ponto, olhamos a Hessiana
cujo determinante é
Passo 3
Como não há extremos no interior, passamos à fronteira
. Usamos a parametrização
. Substituindo em
:
Passo 4
Para encontrar extremos de
, derivamos em relação a
:
Logo
máximo de
Passo 5
Convertendo de volta para
:
Para :
→ pontos
e
com
.
Para :
→ pontos
e
com
.
Para
Para
Resposta
Máximo global de
é
nos pontos
e
. Mínimo global de
é
nos pontos
e
. Não há extremos no interior do disco.