Determine os valores extremos de f na região descrita pela desigualdade.
f(x, y)=x^2+3 x y+y^2 ; x^2+y^2 <= 1

Passo 1

Estamos buscando os extremos globais de uma função de duas variáveis em uma região fechada (o disco unidad��rio). O conteúdo envolve encontrar pontos críticos no interior via gradiente e depois estudar a fronteira usando uma parametrização circular.

Passo 2

A condição de interior vem de resolver ∇f=0. Calculamos as derivadas parciais:
∂f∂x=2x+3y, ∂f∂y=3x+2y
Igualando a zero:
2x+3y=0, 3x+2y=0
Resolvendo o sistema obtemos x=0 e y=0. Avaliando f(0,0)=0. Para classificar esse ponto, olhamos a Hessiana
H=2 & 33 & 2,
cujo determinante é 2·2-3·3=-5<0, logo é um ponto de sela, não extremo.

Passo 3

Como não há extremos no interior, passamos à fronteira x^2+y^2=1. Usamos a parametrização x=cos t, y=sin t. Substituindo em f:
g(t)=cos^2t+3cos tsin t+sin^2t=1+tfrac32sin2t

Passo 4

Para encontrar extremos de g(t), derivamos em relação a t:
g'(t)=tfrac32·2cos2t=3cos2t
Logo g'(t)=0 quando cos2t=0, ou seja 2t=tfracpi2+ kpi. Isso dá sin2t=±1. Assim,
máximo de g=1+tfrac32·1=tfrac52 e mínimo de g=1-tfrac32= -tfrac12.

Passo 5

Convertendo de volta para (x,y):
Para sin2t=1: t=pi/4,5pi/4 → pontos (tfrac√22,tfrac√22) e (-tfrac√22,-tfrac√22) com f=5/2.
Para sin2t=-1: t=3pi/4,7pi/4 → pontos (-tfrac√22,tfrac√22) e (tfrac√22,-tfrac√22) com f=-1/2.

Resposta

Máximo global de f é 5/2 nos pontos (tfrac√22,tfrac√22) e (-tfrac√22,-tfrac√22). Mínimo global de f é -1/2 nos pontos (-tfrac√22,tfrac√22) e (tfrac√22,-tfrac√22). Não há extremos no interior do disco.

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