Calcule a convolução (f * g)(x) para cada uma das funções a seguir:
f(x)=lc1, & 0á e g(x)=lcx, & 0á
Dica: item a : Considere os intervalos (-infty, 0),(0,1),(1,2),(2,+infty).

Passo 1

A questão pede para calcular a convolução de duas funções de suporte limitado em (0,1), ou seja, f(x)=1 em 0<x<1 e zero fora, e g(x)=x em 0<x<1 e zero fora. O conteúdo aqui é convolução de funções reais, e vamos usar a definição integral e a análise de suporte para obter o resultado em cada intervalo de x.

Passo 2

A definição de convolução é
(f*g)(x)=integral-infty^+inftyf(tau),g(x-tau),dtau
Como f(τ)≠0 só em 0<τ<1 e g(x−τ)≠0 só em 0<x−τ<1, a região de integração efetiva é τ∈(max(0,x−1),min(x,1)).
Dessa forma, o suporte de (f*g)(x) fica restrito a 0<x<2. Vamos tratar separadamente os casos 0<x<1 e 1<x<2, pois aí mudam os limites da integral.

Passo 3

Para 0<x<1 temos τ∈(0,x), logo
(f*g)(x)=integral0^x1cdot (x-tau),dtau =integral0^x(x-tau),dtau
Calculando,
integral0^x(x-tau),dtau=l[xtau-tfractau^22r]0^x=x^2-tfracx^22=tfracx^22

Passo 4

Para 1<x<2 temos τ∈(x-1,1), então
(f*g)(x)=integralx-1^1(x-tau),dtau
Fazendo a integral,
integralx-1^1(x-tau),dtau=l[xtau-tfractau^22r]tau=x-1^tau=1 =l(x-tfrac12r)-l[x(x-1)-tfrac(x-1)^22r] =x-tfrac12-l(x^2-x-tfracx^2-2x+12r) =x-tfrac12-l(tfracx^22-tfrac12r) =x-tfracx^22

Passo 5

Para x≤0 ou x≥2, os intervalos de integração não se sobrepõem e (f*g)(x)=0.

Resposta

(f*g)(x)= 0,&x<=0,tfracx^22,&0=2

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