Calcule a convolução
para cada uma das funções a seguir:
e
Dica: item
: Considere os intervalos
.
Dica: item
Passo 1
A questão pede para calcular a convolução de duas funções de suporte limitado em (0,1), ou seja, f(x)=1 em 0<x<1 e zero fora, e g(x)=x em 0<x<1 e zero fora. O conteúdo aqui é convolução de funções reais, e vamos usar a definição integral e a análise de suporte para obter o resultado em cada intervalo de x.
Passo 2
A definição de convolução é
Como f(τ)≠0 só em 0<τ<1 e g(x−τ)≠0 só em 0<x−τ<1, a região de integração efetiva é τ∈(max(0,x−1),min(x,1)).
Dessa forma, o suporte de (f*g)(x) fica restrito a 0<x<2. Vamos tratar separadamente os casos 0<x<1 e 1<x<2, pois aí mudam os limites da integral.
Dessa forma, o suporte de (f*g)(x) fica restrito a 0<x<2. Vamos tratar separadamente os casos 0<x<1 e 1<x<2, pois aí mudam os limites da integral.
Passo 3
Para 0<x<1 temos τ∈(0,x), logo
Calculando,
Passo 4
Para 1<x<2 temos τ∈(x-1,1), então
Fazendo a integral,
Passo 5
Para x≤0 ou x≥2, os intervalos de integração não se sobrepõem e (f*g)(x)=0.
Resposta
(f*g)(x)=