Use a resposta do item a do Exercício 2 juntamente com a propriedade
mathscrF[x f(x)]=i d Fd omega(omega)
para calcular a transformada de
g(x)=cc x e^-x, & x >= 0 0, & x<0

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a transformada de Fourier de
g(x)=x e^-x,&x>=00,&x<0
Vamos usar dois ingredientes: a resposta do item (a) do exercício 2 (isto é,
mathscr F[e^-xu(x)](omega)=1/(1+iomega)) e a propriedade
mathscr F[x f(x)]=i,dF/domega.

Passo 2

Primeiro, definimos
f(x)=e^-xu(x),
onde u(x) é o degrau de Heaviside. Sabemos do item (a) que
F(omega)=mathscr F[f(x)](omega)=integral0^inftye^-xe^-iomega x,dx=11+iomega

Passo 3

Agora reconhecemos que
g(x)=x f(x). Então podemos aplicar a propriedade
$$\mathscr Fx f(x)=i\frac{d}{d\omega}F(\omega).
$$

Passo 4

Vamos calcular a derivada de
F(omega)=1/(1+iomega).
Temos
ddomegal(11+iomegar)= -i(1+iomega)^2

Passo 5

Multiplicando por i, obtemos
G(omega)=idFdomega=il(-i(1+iomega)^2r)=1(1+iomega)^2

Resposta

mathscr F[g(x)](omega)=1(1+iomega)^2

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