Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita às restrições dadas.
f(x, y, z)=y z+x y ; x y=1, y^2+z^2=1

Passo 1

O exercício pede pra gente achar os valores máximo e mínimo da função sujeita a duas restrições usando multiplicadores de Lagrange. O conteúdo aqui é otimização com restrições. Vamos precisar montar o Lagrangiano e resolver o sistema das derivadas parciais junto com as equações das restrições.

Passo 2

Montamos o Lagrangiano
L(x,y,z,lambda,mu)=f(x,y,z)-lambda,(x y-1)-mu,(y^2+z^2-1)
onde
f(x,y,z)=y z+x y,, x y-1=0,, y^2+z^2-1=0

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
  1. partialx:;y=lambda y
  2. partialy:;z+x=lambda x+2mu y
  3. partialz:;y=2mu z
    Além disso temos as restrições
    x y=1 e y^2+z^2=1.

Passo 4

Da equação (1), se yneq0 então lambda=1. Da (3) temos mu=tfracy2z. Substituindo em (2) com lambda=1
z+x = x + y^2z implies z = y^2z implies z^2=y^2 implies z=pm y
Da restrição y^2+z^2=1 vem 2y^2=1, logo y=pmtfrac1raiz2.

Passo 5

Usando x y=1 achamos x=1/y=pmraiz2. Então os pontos críticos são:
(x,y,z)=(raiz2,tfrac1raiz2,pmtfrac1raiz2)e(x,y,z)=(-raiz2,-tfrac1raiz2,pm -tfrac1raiz2)

Passo 6

Agora avaliamos
f= y z + x y
Nos pontos com z=y
f=tfrac1raiz2cdottfrac1raiz2+raiz2cdottfrac1raiz2=tfrac12+1=tfrac32,
e nos pontos com z=-y
f=-tfrac12+1=tfrac12
Portanto o máximo é 3/2 e o mínimo é 1/2.

Resposta

O valor máximo de f é 3/2 e o valor mínimo é 1/2.

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