Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita às restrições dadas.
Passo 1
O exercício pede pra gente achar os valores máximo e mínimo da função sujeita a duas restrições usando multiplicadores de Lagrange. O conteúdo aqui é otimização com restrições. Vamos precisar montar o Lagrangiano e resolver o sistema das derivadas parciais junto com as equações das restrições.
Passo 2
Montamos o Lagrangiano
onde
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
-
-
-
Além disso temos as restrições
e .
Passo 4
Da equação (1), se
então
. Da (3) temos
. Substituindo em (2) com
dá
Da restrição
vem
, logo
.
Passo 5
Usando
achamos
. Então os pontos críticos são:
Passo 6
Agora avaliamos
Nos pontos com
dá
e nos pontos com
dá
Portanto o máximo é
e o mínimo é
.
Resposta
O valor máximo de
é
e o valor mínimo é
.