Encontre a função cuja transformada inversa é dada em cada um dos itens a seguir:
K(omega)=1(1+i omega)(4+2 i omega)

Passo 1

O enunciado dá a transformada inversa de Fourier K(omega)=1(1+iomega)(4+2iomega) e pede a função no domínio do tempo. Vamos usar propriedade de transformada de Fourier e frações parciais.

Passo 2

Repare que 4+2iomega=2(2+iomega), logo
K(omega)=12(1+iomega)(2+iomega)

Passo 3

Para usar tabelas de transformadas conhecidas, decompomos em frações parciais:
Procuramos constantes A e B tais que
12(1+iomega)(2+iomega)=A1+iomega+B2+iomega
Isso equivale a
A(2+iomega)+B(1+iomega)=tfrac12

Passo 4

Comparando coeficientes de iomega e termos constantes: de iomega vem A+B=0, e do termo constante 2A+B=tfrac12. Resolvendo:
A=tfrac12, B=-tfrac12

Passo 5

Como sabemos que
Fe^-atu(t)(omega)=integral0^infty e^-ate^-iomega tdt=1a+iomega,
concluímos que a transformada inversa de 1a+iomega é e^-atu(t).

Passo 6

Aplicando essa propriedade a cada fração, obtemos
f(t)=tfrac12e^-1,tu(t)-tfrac12e^-2,tu(t)=tfrac12l(e^-t-e^-2tr)u(t)

Resposta

f(t)=tfrac12l(e^-t-e^-2tr)u(t)

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