Se f(3)=2=g(3), f^{\prime}(3)=-1 e g^{\prime}(3)=3, concluímos que (f g)^{\prime}(3) vale Escolha uma opção:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas tiradas do próprio enunciado):
  • f(3)=2.
  • g(3)=2 (o enunciado escreveu f(3)=2=g(3), ou seja ambos valem 2).
  • f^{\prime}(3)=-1.
  • g^{\prime}(3)=3.
O que é pedido:
  • Calcular (f g)^{\prime}(3), isto é, a derivada do produto f(x)g(x) avaliada em x=3.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (regra do produto). Para duas funções diferenciáveis f e g vale a regra do produto:
(fg)'(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x).
Explicando cada símbolo:
  • f(x) e g(x) são os valores das funções no ponto x.
  • f'(x) e g'(x) são as derivadas (as taxas de variação) de f e g no ponto x.
  • (fg)'(x) é a derivada da função produto fg no ponto x.
    Intuição curta: a variação do produto tem duas contribuições — a variação de f mantendo g quase constante, mais a variação de g mantendo f quase constante — por isso soma-se f' g e f g'.
Se quiser ver rapidamente uma derivação por limite (opcional, mas didático):
(fg)'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}.
Reescrevendo o numerador:
f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)=f(x+h)\bigl(g(x+h)-g(x)\bigr)+g(x)\bigl(f(x+h)-f(x)\bigr).
Dividindo por h e tomando limite, usando linearidade do limite e continuidade de f e g, obtemos exatamente
(fg)'(x)=f(x)g'(x)+g(x)f'(x).

Passo 3

Aplicar a regra do produto em x=3. Usando a fórmula:
(fg)'(3)=f'(3)\,g(3)+f(3)\,g'(3).
Agora substituímos os valores fornecidos pelo enunciado.

Passo 4

Substituição e contas (passo a passo):
f'(3)\,g(3)=(-1)\cdot 2=-2.
f(3)\,g'(3)=2\cdot 3=6.
Somando as duas contribuições:
(fg)'(3)=-2+6=4.

Passo 5

Interpretação rápida e incentivo: isso significa que, no ponto x=3, o produto f(x)g(x) está crescendo com taxa 4. Mandou bem por conferir os dados e aplicar a regra do produto — é exatamente isso que cai em prova!

Resposta

4

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