Se
e
, concluímos que
vale Escolha uma opção:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas tiradas do próprio enunciado):
-
. -
(o enunciado escreveu , ou seja ambos valem ). -
. -
.
O que é pedido:
- Calcular
, isto é, a derivada do produto avaliada em .
Passo 2
Fórmula que vamos usar (regra do produto). Para duas funções diferenciáveis
e
vale a regra do produto:
Explicando cada símbolo:
-
e são os valores das funções no ponto . -
e são as derivadas (as taxas de variação) de e no ponto . -
é a derivada da função produto no ponto .
Intuição curta: a variação do produto tem duas contribuições — a variação demantendo quase constante, mais a variação de mantendo quase constante — por isso soma-se e .
Se quiser ver rapidamente uma derivação por limite (opcional, mas didático):
Reescrevendo o numerador:
Dividindo por
e tomando limite, usando linearidade do limite e continuidade de
e
, obtemos exatamente
Passo 3
Aplicar a regra do produto em
. Usando a fórmula:
Agora substituímos os valores fornecidos pelo enunciado.
Passo 4
Substituição e contas (passo a passo):
Somando as duas contribuições:
Passo 5
Interpretação rápida e incentivo: isso significa que, no ponto
, o produto
está crescendo com taxa
. Mandou bem por conferir os dados e aplicar a regra do produto — é exatamente isso que cai em prova!